Geometrik medyan: Revizyonlar arasındaki fark
| [kontrol edilmiş revizyon] | [kontrol edilmiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
düzeltme |
düzeltme AWB ile |
||
1. satır:
{{Diğer anlamı|medyan (anlam ayrımı) }}
'''Geometrik medyan''' bir [[Euclid-tipi uzay]]da bulunan aralıklı set halindeki örneklem noktaları, bu noktalar arasındaki uzaklıkların toplamını en küçük (minimum) yapan bir nokta olarak tanımlanır. Tek boyutlu veri serisi içinde veri noktaları arasında uzaklıkları minimum yapma özelligi olan medyanın, çok boyutlu veri uzayında karşıtı olup, bir çokdeğişirli [[merkezsel konum ölçüleri|merkezsel konum ölçüsü]] olur. '''Geometrik medyan''' için kullanılan diğer adlar '''Fermat-Weber noktası''' veya '''1-medyan''' olur.
''Geometrik medyan'' [[yöneylem araştırması]], [[Endüstri Mühendisliği]] alanlarında bulunan ve pratikte çok önemi olan standart üretim ve dağıtım kuruluşu [[konumlanma]] problemi için kullanılan yaklaşımlardan en popüleridir; çünkü ''geometrik medyan'' noktasında konumlanma taşıma maliyetlerini en küçük yapan bir noktadır.
27. satır:
* Tek boyutlu uzayda, geometrik medyan [[medyan]] ile çakışır. Buna neden [[tekdeğişirli]] medyanın da veri noktalarından medyana uzaklıklarının toplamının minimum olmasıdır.
* Eğer noktalar ''doğrudaşlık'' (İngilizce:collinearity) özelliğine sahip değillerse, geometrik medyan tanınıma uyan ''yegane'' tek bir noktadır.
* Geometrik medyan Euclid tipi (cevirme ve devretme gibi) [[benzerlik donusumleri]]ne esit degisme gosterir. Bu demektir ki geometrik medyana uygulanan benzerlik donusumu ile elde edilen sonuc ile once veri serisine ayni donusumu uygulayip sonra donusumlu serilerin geometrik medyani alma sonucuyla aynidir. Bu ozellik geometrik medayanin sadece nokta ciftlerine gore tanimlanmasi nedeninden ve orneklem veri serisinin temsil edildigi ortogonal [[Kartezyen koordinat]] sistemine bagli olmamasindan ortaya cikar. Buna karsilik, bir coklu degsisrli veri dizisi kollanilarak elde edilen coklu-medyan genellikle rotasyon donusumunden etkilenmekte ve koordinat sitemi secimine cok guclu olarak bagli olmaktadir.
▲* Eğer noktalar ''doğrudaşlık'' (İngilizce:collinearity) özelliğine sahip değillerse, geometrik medyan tanınıma uyan ''yegane'' tek bir noktadır.
▲* Geometrik medyan Euclid tipi (cevirme ve devretme gibi) [benzerlik donusumleri]]ne esit degisme gosterir. Bu demektir ki geometrik medyana uygulanan benzerlik donusumu ile elde edilen sonuc ile once veri serisine ayni donusumu uygulayip sonra donusumlu serilerin geometrik medyani alma sonucuyla aynidir. Bu ozellik geometrik medayanin sadece nokta ciftlerine gore tanimlanmasi nedeninden ve orneklem veri serisinin temsil edildigi ortogonal [[Kartezyen koordinat]] sistemine bagli olmamasindan ortaya cikar. Buna karsilik, bir coklu degsisrli veri dizisi kollanilarak elde edilen coklu-medyan genellikle rotasyon donusumunden etkilenmekte ve koordinat sitemi secimine cok guclu olarak bagli olmaktadir.
* Geometrik medyan için [[çöküntü noktası]] 0,5 olarak hesaplanmıştır.<ref>Lopuhaä, H. P.; Rousseeuw, P. J. (1991). "Breakdown points of affine equivariant estimators of multivariate location and covariance matrices". Annals of Statistics 19 (1): 229–248</ref>. Bu demektir ki eğer örneklem veri serisinin yarısı keyfi bir şekilde bozulmuşlarsa, geometrik medyan bu halde bile, bozuk olmayan verilerin ortaya çıkarabileceği merkezsel konum noktasının bir [[güçlü kestirim]]i olacaktır.
Satır 37 ⟶ 34:
* '''Üç nokta için''': Eğer bir üçgenin herhangi bir açısı 120°den daha büyük ise, geometrik medyan bu açının başlangıç köşe noktasıdır. Eğer tüm açılar 10&geg;den daha az ise, geometrik medyan üçgenin içinde öyle bir noktadır ki tüm üç çift noktaya 120°lik bir açı kurulabilirse, bu nokta üç noktaya kurulmuş olan bir üçgenin [[Fermat noktası]] olarak da bilinir.
* '''Dört aynı-düzeysel noktalar için''': Eger bir nokta diğer üç noktadan kurulmuş olan bir üçgenin içinde ise bu nokta geometrik medyandır. Aksi halde, noktalar bir konveks dörtgen kurarlar ve geometrik medyan bu dörtgenin köşegenlerinin kesişme noktasıdır. Bu nokta dört köşe noktasının [[Radon noktası]] olarak bilinir.
== Hesaplama ==
Kavram olarak anlaşılması oldukça kolay olan geometrik medyan bulmak için kullanabilcek bir matematik formül daha mevcut değildir. Geometrik medyana benzer olan, ve her örneklem noktasının uzaklık karelerinin toplamını minimum yapan [[sentroid]] veya [[kütle merkezi]] için basit bir formül bulunmaktadır. Ama uzaklık toplamını minimize edecek geometrik medyan için bunun imkânsız oldugu, yani sadece aritmetiksel işlemler ve ''k''inci kökler hesapları kullanılmasını öneren bir matematik formülün bulunmasinin genel olarak mümkün olamayacağı, isbatlanmıştır.
</ref>
Cebirsel sekilde bir formulun bulunamasina ragmen, sayisal yaklasimlar kullanılarak yinelemeli surecle, her bir yinelemede daha geometrik medyan için cok uygun yaklasik değerler bulunabilir. Bu tip yordamlarin kullanilmasi temelinde bulunan gercek uzakliklarin toplaminin bir [[konveks fonksiyon]] olamasidir cunku her orneklem veri noktasina uzaklik konveks oldugu icin, konveks fonksiyonlarin toplaminin da konveksdir. Boylece her bir cozum asamasinda uzakliklarin toplamini azaltan bir yordam bir [[yoresel optimum]] noktasina takilip kalmamaktadir.
Geometrik medyan bulmak icin kullanilan bir yineleme ile yaklasik cozum bulma islemine '''Weiszfeld'in algoritmasi''' adi verilmektedir.<ref>Weiszfeld,E. (1937) "Sur le point pour lequel la somme des distances de ''n'' points donnes est minimum" , ''Tohoku Math. Journal'' C.43 say.355–386</ref><ref>Kuhn,H.W. (1973), "A note on Fermat's problem" ''Mathematical Programming'' C.4 No.1 say.98–107</ref> ve bu [[yinelemeli tekrar agirliklanmis en kucuk kareler]] yonteminin bir degisik seklidir.
Satır 54 ⟶ 50:
-->
Bose ve arkadaslari
== Örtük formül ==
Satır 90 ⟶ 86:
* Wesolowsky,G. (1993) "The Weber problem: History and perspective" ''Location Science'' C.1 say.5–23
* Weiszfeld, E. (1937). "Sur le point pour lequel la somme des distances de n points donnes est minimum". Tohoku Math. Journal 43: 355–386.
[[Kategori:Ortalama]]
| |||