Planck yasası: Revizyonlar arasındaki fark
| [kontrol edilmiş revizyon] | [kontrol edilmiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
Değişiklik özeti yok |
yeni bilgi |
||
60. satır:
İlk vakum enerjisi terimi dışında bu formül Bose-Einstein istatistiğine göre tanımlanabilen parçacıklar için genel formüle nazaran özel bir durumdur. Bunun nedeni ise fotonun toplam sayısında herhangi bir kısıtlamanın olmamasıdır, yani kimyasal potansiyelinin sıfır olmasıdır.
Eğer biz enerjiyi yerel duruma göre ölçersek, kutudaki toplam enerji <math>\scriptstyle{\left\langle E\right\rangle} - \frac{\varepsilon}{2}</math> bütün tek foton durumlarının toplamıyla bulunur. Bu işlem aynı zamanda aynı şekilde termodinamik limitte ''L'' sonsuza yaklaşırken de yapılıp çözüme ulaşılabilir. Bu limitte ''ε'' sürekli olur ve sonrasında <math>\scriptstyle{\left\langle E\right\rangle}- \frac{\varepsilon}{2}</math> ifadesinin belirlediğimiz parametre üzerinden integrali alınır. Bu yolla kutudaki toplam enerjiyi hesaplamak için verilen enerji aralığında kaç tane foton olduğunu bilmemiz gerekir. Eğer enerjisi ''ε'' ve ''ε'' + ''dε'' böylece ''g''(''ε'')''dε'', burada ''g''(''ε'') yoğunluğu (belirli bir anda hesaplayabileceğimiz) ifade eder. Sonuç olarak:
:<math>U = \int_{0}^{\infty}\frac{\varepsilon}{e^{\beta\varepsilon}-1}g(\varepsilon)\,d\varepsilon. \qquad \mbox{(2)}</math>
Yoğunluğu hesaplamak için denklemi (1) yeniden aşağıdaki gibi yazarız:
:<math>\varepsilon\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{hc}{2L}n,</math>
burada ''n'' norm vektörüdür {{nowrap|1='''n''' = (''n''<sub>1</sub>, ''n''<sub>2</sub>, ''n''<sub>3</sub>)}}:
:<math>n=\sqrt{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}.</math>
Her '''n''' vektörünün tamsayı bileşeninin büyük ya da sıfıra eşit olduğu koşulda iki foton durumu vardır. Bunun anlamı belirli bir ''n''-uzayda bölgesindeki toplam foton sayısının bu bölgedeki hacimden iki kat daha fazla olduğudur. ''dε'' şeklinde bir enerji aralığı ''n''-uzayda ''dn'' = (2''L''/''hc'')''dε'' kalınlığındaki bir kabuğa tekabül eder. Bu kabuk bir kürenin oktantına yayılır çünkü '''n''' bileşenleri pozitif olmak zorundadır. Foton sayısı ''g''(''ε'')''dε'', bir enerji aralığında ''dε''yi ifade eder. Böylece:
:<math>g(\varepsilon)\,d\varepsilon=2\frac{1}{8}4\pi n^{2}\,dn=\frac{8\pi L^{3}}{h^{3}c^{3}}\varepsilon^{2}\,d\varepsilon.</math>
Bunu denklem (2)'de yerine koyarsak elde edeceğimiz formülizasyon şudur:
:<math>U =L^3 \frac{8\pi}{h^3 c^3}\int_0^\infty \frac{\varepsilon^3}{e^{\beta\varepsilon}-1}\,d\varepsilon. \qquad \text{(3)}</math>
Bu denklemden herhangi biri spektral enerji yoğunluğunu frekansının bir fonksiyonuymuş <math>u_\nu(T)</math> gibi ve bir dalga boyu fonksiyonuymuş ''u''<sub>''λ''</sub>(''T'') gibi türetebilir:
:<math>\frac{U}{L^3} = \int_0^\infty u_\nu(T)\, d\nu,</math>
burada:
:<math>u_\nu(T) = {8\pi h\nu^3\over c^3}{1\over e^{h\nu/k_\mathrm{B}T} - 1}.</math>
Ve:
:<math>\frac{U}{L^3} = \int_0^\infty u_\lambda(T)\, d\lambda,</math>
burada:
:<math>u_\lambda(T) = {8\pi h c\over \lambda^5}{1\over e^{h c/\lambda k_\mathrm{B}T} - 1}.</math>
== References ==
| |||