Riemann zeta işlevi: Revizyonlar arasındaki fark
| [kontrol edilmiş revizyon] | [kontrol edilmiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
k →Uygulamalar: şablon düzenleme. cite web → web kaynağı |
k düzen. file→dosya |
||
8. satır:
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} =
\frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots \;\;\;\;\;\;\;
\!</math>
şeklindedir. Buradaki s karmaşık sayısı 1 'den farklı bir sayı olmalıdır.
Riemann zeta işlevinin [[Kök (matematik)|köklerinin]] dağılımına ilişkin bir sav olan [[Riemann önermesi]] birçok matematikçi tarafından [[yalın matematik|yalın matematiğin]] şu ana dek çözülememiş en önemli problemi olarak görülmektedir.<ref>{{Web kaynağı| url = http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/riemann.pdf | başlık = The Riemann Hypothesis - official problem description | erişimtarihi = 05.09.2009 | yayımcı = Clay Mathematics Institute | ilk = Enrico | son = Bombieri }}</ref>
== Özel değerler ==
[[
{{Ana|Riemann zeta fonksiyonunun özel değerleri}}
Herhangi pozitif ''2n'' çift tamsayısı için:
26. satır:
:<math>\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}</math>
{{nowrap|''n'' ≥ 1}} için, böylece özel olarak ''ζ'' kaybı negatif çift tamsayılar da çünkü ''B''<sub>''m''</sub> = 0 tüm tek ''m'' başka 1.
tek pozitif tamsayılar için,bağıntının bu kadar basit olmadığı biliniyor.
:<math>\zeta(-1) = -\frac{1}{12}</math>
Satır 45 ⟶ 44:
:<math>\zeta(3/2) \approx 2.612;\!</math>
::Bir kutu içindeki periyodik sınır şartları ile bir [[Bose–Einstein yoğunlaşması]], ve manyetik sistemlerde [[spin dalga]] fiziği için bu kritik sıcaklığın hesaplanmasında gereklidir.
:<math>\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.645;\!</math> {{OEIS|id=A013661}}
::Bu eşitliğin gösterimi [[Basel problemi]] olarak bilinir.Bu sorunun toplam cevabı karşılıklıdır :Rastgele olarak seçilmiş iki sayının[[coprime|aralarında asal]] olma olasılığı nedir?<ref>[[C. Stanley Ogilvy|C. S. Ogilvy]] & J. T. Anderson ''Excursions in Number Theory'', pp. 29–35, Dover Publications Inc., 1988 ISBN 0-486-25778-9</ref>
:<math>\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots \approx 1.202;\!</math>
::Bu [[Apéry'in sabiti]]'dir.
Satır 111 ⟶ 110:
=== Laurent serileri ===
Riemann zeta fonksiyonu tek ''s'' = 1'de tek sıralı bir tek [[pole (complex analysis)|kutup]] ile [[meromorfik]]tir.Bunun için bir [[Laurent serisi]] boyutu ''s'' = 1 olarak açılabilir olsun;
serisi geliştirilir ise
:<math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n \; (s-1)^n.</math>
Satır 143 ⟶ 142:
:<math>\zeta(s) = \frac{e^{(\log(2\pi)-1-\gamma/2)s}}{2(s-1)\Gamma(1+s/2)} \prod_\rho \left(1 - \frac{s}{\rho} \right) e^{s/\rho},\!</math>
burada çarpım ''ζ'''nın önemsiz-olmayan sıfırlar ''ρ'' dir ve tekrar γ harfi [[Euler–Mascheroni sabiti]] ifade eder. Daha basit bir [[sonsuz çarpım]] açılımı
:<math>\zeta(s) = \pi^{s/2} \frac{\prod_\rho \left(1 - \frac{s}{\rho} \right)}{2(s-1)\Gamma(1+s/2)}.\!</math>
Satır 181 ⟶ 180:
=== Sonsuz seriler ===
pozitif tamsayılarda zeta fonksiyonu değerlendirldiğinde sabitlerin bir sayısının sonsuz serisi gösterimi içinde belirir.<ref>Unless otherwise noted, the formulas in this section are from § 4 of J. M. Borwein et al. (2000)</ref> Burada daha öte formüller [[
:<math>
1=\sum_{n=2}^{\infty}(\zeta(n)-1).
| |||