Hilbert uzayı: Revizyonlar arasındaki fark
| [kontrol edilmiş revizyon] | [kontrol edilmiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
? |
|||
15. satır:
=== Alıştırma örnekleri: Öklid uzayı ===
bir Hilbert uzayının en
:<math>(x_1,x_2,x_3)\cdot (y_1,y_2,y_3) = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.</math>
nokta çarpım tarafından tanımlanan özellikleri tatmin edicidir:
#Bu '''x''' ve '''y''' içinde simetriktir: '''x''' · '''y''' = '''y''' · '''x'''.
#Bu ilk değişken içinde [[linear function|doğrusal]]'dır : (''a'''''x'''<sub>1</sub> + ''b'''''x'''<sub>2</sub>) · '''y''' = ''a'''''x'''<sub>1</sub> · '''y''' + ''b'''''x'''<sub>2</sub> · '''y''' için herhangi skaler ''a'', ''b'', ve vektörler '''x'''<sub>1</sub>, '''x'''<sub>2</sub>, ve '''y'''.
#
vektörlerin çifti bir işlemci olarak
:<math>\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \|\mathbf{x}\|\,\|\mathbf{y}\|\,\cos\theta.</math>
[[Dosya:Completeness in Hilbert space.png|thumb|right|Tamlık bir parçacık kırık yol boyunca hareket ederse (mavi) bir sonlu toplam mesafe seyahat anlamına gelir, ise [[Well defined|iyi-tanımlanmış]] net yer değiştirme(portakal rengi) parçacık var.]]
[[Çok değişkenli hesabı]] Öklid uzayı [[limit (mathematics)|sınırları]]'nı hesaplayabilme yeteneğine dayanır ve bu sınırlar sonuç için yararlı kriterlere
:<math>\sum_{n=0}^\infty \mathbf{x}_n</math>
'''R'''<sup>3</sup> içinde vektörlerin oluşumu [[absolute convergence|mutlak yakınsak]]'tır, yakınsar uzunlukların sağlanan toplamı olarak bir gerçel sayıların düzgün serisi:<ref>{{harvnb|Marsden|1974|loc=§2.8}}</ref>
35. satır:
Bu özellik Öklid uzayı ''tamlığını'' ifade etmektedir: mutlak yakınsak bir dizi yalın anlamıyla yakınsar.
=== Tanım ===
Bir '''Hilbert uzayı''' ''H'' bir [[real number|gerçel]] veya [[complex number|karmaşık]] [[iççarpım uzayı|iç-çarpım uzayı]]'dır buda bir [[tam metrik uzayı]] ile sırasıyla uzunluk fonksiyonu
* Ögelerin bir çiftinin iç-çarpımı takas elemanlarının bir iç-çarpımının [[karmaşık eşleniği]]ne eşittir :
::<math>\langle y,x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}.</math>
*
::<math>\langle ax_1+bx_2, y\rangle = a\langle x_1, y\rangle + b\langle x_2, y\rangle.</math>
*
::<math>\langle x,x\rangle \ge 0</math>
:eşitlik durumunun tam tuttuğu(örtüştüğü) yer ''x'' = 0 sırasındadır.
Aşağıdaki şu iki özellik ikincil bileşen içindeki [[Antilinear map|karşıt-doğrusal]] 1 ve 2'nin bir karmaşık
:<math>\langle x, ay_1+by_2\rangle = \bar{a}\langle x, y_1\rangle + \bar{b}\langle x, y_2\rangle.</math>
Gerçek bir iç çarpım uzay aynı şekilde tanımlanır,''H'' dışında gerçek bir vektör uzayı ve iç çarpım gerçek değerleri alır.Böyle bir iç bir çarpımı doğrusal olacak:her bileşen içinde doğrusaldır.Bu [[norm (mathematics)|norm]] gerçel-değerli fonksiyondur
:<math>\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle},</math>
ve uzunluk ''d'' ve ''x'',''y'' iki nokta arasında in ''H'' içinde tarafından norm açısından tanımlanmıştır
| |||