Vikipedi

Fourier serisi: Revizyonlar arasındaki fark

Etkileşimli olarak geçmişe göz at
[kontrol edilmiş revizyon][kontrol edilmiş revizyon]
← Önceki sürümle aradaki farkSonraki sürümle aradaki fark →
İçerik silindi İçerik eklendi
GörselVikimetin
Ildeguz (mesaj | katkılar)
Beyaz liste
3.098 değişiklik
Ildeguz (mesaj | katkılar)
Beyaz liste
3.098 değişiklik
Değişiklik özeti yok
12. satır:
 
Modern bir bakış açısıyla bakıldığında Fourier'in sonuçları informaldir. Çünkü o 19. yüzyılda bu sonuçları hesaplarken fonksiyon ve integraller gerekli kesinlik gereksinimlerini karşılamıyordu. Daha sonraları [[Dirichlet]] ve [[Riemann]] Fourier'in bu denklemlerini modern hesaplamalarıyla formalliğe ve kesinliğe kavuştururlar.
 
==Başlangıçlar==
 
 
=== Devrim niteliğindeki makale ===
 
{{cquote|<math>\varphi(y)=a\cos\frac{\pi y}{2}+a'\cos 3\frac{\pi y}{2}+a''\cos5\frac{\pi y}{2}+\cdots.</math>
 
İki tarafı da <math>\cos(2k+1)\frac{\pi y}{2}</math> ile çarpıp ve sonra <math>y=-1</math> den <math>y=+1</math> e integralini aldığımızda:
 
<math>a_k=\int_{-1}^1\varphi(y)\cos(2k+1)\frac{\pi y}{2}\,dy.</math>
|30px|30px|[[Joseph Fourier]]|Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides, sf. 218–219.<ref>[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k33707.image.r=Oeuvres+de+Fourier.f223.pagination.langFR Gallica - Fourier, Jean-Baptiste-Joseph (1768-1830). Oeuvres de Fourier. 1888]</ref>}}
 
Bu modern yaklaşıma oldukça yakın olan birkaç satırda Fourier'in yaptığı bu denklemler fizik ve matemetikte devrim niteliğinde etki bırakmıştır. Her ne kadar burada kullanılan trigonometrik denklem ve seriler daha önceleri [[Euler]], [[Jean le Rond d'Alembert|d'Alembert]], [[Daniel Bernoulli]] ve [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] tarafından kullanılmış olsa da Fourier bu denklemlerin sıradan, karmaşık dalga çeşitlerinin de bu serilerle gösterilebileceğini gösterir.
 
Bu teorinin kullanımı daha önceleri epey karmaşık olan [[Seri (matematik)|uzaksak seriler]], [[fonksiyon uzayı]] ve harmonik analizinde önemli yenilik ve kolaylıklar getirmiştir.
 
Fourier bu çalışmasını [[1807]]'de komiteye gösterdiğinde -ki komitede [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]], [[Laplace]], [[Etienne-Louis Malus|Malus]] ve [[Legendre]] gibi önemli isimler vardı- '''''...yazarın bu denklemlere ulaşmadaki yolu karmaşıklıktan ve zorluktan tamamen uzak olup[...] onun analiz için sentezleri basitlik ve genellik bakımından şiddetli bir hayranlık uyandıracak seviyededir.''''' diyerek yorumlarlar.
 
=== Harmonik analizin doğuşu ===
 
Fourier'in zamanından beri Fourier serilerinin konseplerini tanımlamak ve anlamak için birçok farklı yaklaşım keşfedildi. Bu keşiflerin her biri asıl teoriyi destekler ve konunun farklı noktalarına vurgu yapacak mahiyetteydi. Fourier bu orijinal çalışmayı yaparken henüz bilinmeyen, keşfedilmeyen birçok matematiksel işlevi olan denklemle daha sonraları çok güçlü ve seçkin yaklaşımlar keşfedildi. Fourier asıl makalesinde sadece gerçek değerli Sinüs ve kosinüs denklemlerini kullanmıştı.
 
Bunların en önemlisi kompleks değerli üstel fonksiyonlar dır ve '''e<sup>ixk<sub>o</sub></sup>''' şeklinde ifade edilirler. Aynı zamanda komleks harmonikler olarak adlandırılır ve harmonik analizin temelidir.
 
Fourier serileriyle ilgili birçok transform da farklı yaklaşımlara ve fikirlere genişletilecek şekilde keşfedilmiş ve kullanılmıştır. Bunlardan en önemlileri [[Fourier dönüşümü|Fourier dönüşümü]] ve [[Z-dönüşümü|Z-dönüşümü]]dür.
 
==Uzantılar==
 
=== Bir kare üzerinde Fourier serisi ===
kare [−π,&nbsp;π]×[−π,&nbsp;π] içinde ''x'' ve ''y'' iki değişkenin fonksiyonları için Fourier serisi tanımlanabilir :
:<math>f(x,y) = \sum_{j,k \in \mathbf{Z}\text{ (integers)}} c_{j,k}e^{ijx}e^{iky},</math>
:<math>c_{j,k} = {1 \over 4 \pi^2} \int_{-\pi}^\pi \int_{-\pi}^\pi f(x,y) e^{-ijx}e^{-iky}\, dx \, dy.</math>
Aside from being useful for solving partial differential equations such as the ısı denklemi gibi kısmi diferansiyel denklemlerin çözümü için kullanışlı olduğu bir yana kare üzerinde Fourier serisinin tek kaydadeğer uygulama [[imaj baskısı]] içindedir. Özel olarak, [[jpeg]] imaj baskı standardı iki-boyutlu [[ayrık cosin dönüşümü]] kullanılır,burda bir Fourier transformu cosin taban fonksiyonları kullanılıyor.
 
=== Bravais-kafes-periodik-fonksiyonunun Fourier serisi ===
[[Bravais kafesi]] formun vektörlerinin kümesi olarak tanımlanabilir:
:<math>\mathbf{R} = n_{1}\mathbf{a}_{1} + n_{2}\mathbf{a}_{2} + n_{3}\mathbf{a}_{3}</math>
Burada ''n<sub>i</sub>'' tamsayıdır ve '''a'''<sub>''i''</sub> üç doğrusal bağımsız vektörlerdir.Bazı fonksiyonlar varsayalım, ''f''('''r'''), böylece herhangi Bravais kafes vektör '''R''': ''f''('''r''') = ''f''('''r'''&nbsp;+&nbsp;'''R''') için durum aşağıdakine uyar,bunun bir Fourier serisi yapılabilir.Fonksiyonun bu türü , örneğin,bu etkin potansiyel bir elektronu bir periyodik kristal içinde "hissedebilir". Bu potansiyelin bir Fourier serisi yapmak için yararlı ise [[Bloch's Theorem|Bloch teoremi]] uygulanıyor. Birincisi,kafesin koordinat-sistemi içinde herhangi keyfi vektör '''r''' yazabiliriz:
 
: <math>\mathbf{r} = x_1\frac{\mathbf{a}_{1}}{a_1}+ x_2\frac{\mathbf{a}_{2}}{a_2}+ x_3\frac{\mathbf{a}_{3}}{a_3},</math>
 
burada ''a''<sub>''i''</sub> = |'''a'''<sub>''i''</sub>|.
 
Böylece yeni bir fonksiyon tanımlayabiliriz,
 
: <math>g(x_1,x_2,x_3) := f(\mathbf{r}) = f \left (x_1\frac{\mathbf{a}_{1}}{a_1}+x_2\frac{\mathbf{a}_{2}}{a_2}+x_3\frac{\mathbf{a}_{3}}{a_3} \right ).</math>
 
Bu yeni fonksiyon, <math>g(x_1,x_2,x_3)</math>,şimdi üç-değişikliklerin bir fonksiyonudur,bunun her ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub> periyodisite var, ''a''<sub>3</sub> sırasıyla: <math>g(x_1,x_2,x_3) = g(x_1+a_1,x_2,x_3) = g(x_1,x_2+a_2,x_3) = g(x_1,x_2,x_3+a_3)</math>.
 
''x''<sub>1</sub> içinde [0, ''a''<sub>1</sub>] aralığı üzerinde ''g'' için bir serisi yazılırsa ,aşağıdakini tanımlayabilir:
 
:<math>h^\mathrm{one}(m_1, x_2, x_3) := \frac{1}{a_1}\int_0^{a_1} g(x_1, x_2, x_3)\cdot e^{-i 2\pi \frac{m_1}{a_1} x_1}\, dx_1</math>
 
Ve o zaman:
 
:<math>g(x_1, x_2, x_3)=\sum_{m_1=-\infty}^\infty h^\mathrm{one}(m_1, x_2, x_3) \cdot e^{i 2\pi \frac{m_1}{a_1} x_1}</math>
 
yazabiliriz
 
Daha ileri tanım:
 
:<math>
\begin{align}
h^\mathrm{two}(m_1, m_2, x_3) & := \frac{1}{a_2}\int_0^{a_2} h^\mathrm{one}(m_1, x_2, x_3)\cdot e^{-i 2\pi \frac{m_2}{a_2} x_2}\, dx_2 \\[12pt]
& = \frac{1}{a_2}\int_0^{a_2} dx_2 \frac{1}{a_1}\int_0^{a_1} dx_1 g(x_1, x_2, x_3)\cdot e^{-i 2\pi \left(\frac{m_1}{a_1} x_1+\frac{m_2}{a_2} x_2\right)}
\end{align}
</math>
 
Biz bir kez daha ''g'' yazabilir:
 
:<math>g(x_1, x_2, x_3)=\sum_{m_1=-\infty}^\infty \sum_{m_2=-\infty}^\infty h^\mathrm{two}(m_1, m_2, x_3) \cdot e^{i 2\pi \frac{m_1}{a_1} x_1} \cdot e^{i 2\pi \frac{m_2}
{a_2} x_2}</math>
 
Nihayet üçüncü koordinat için aynısı uygulanarak tanımlanır:
 
: <math>
\begin{align}
h^\mathrm{three}(m_1, m_2, m_3) & := \frac{1}{a_3}\int_0^{a_3} h^\mathrm{two}(m_1, m_2, x_3)\cdot e^{-i 2\pi \frac{m_3}{a_3} x_3}\, dx_3 \\[12pt]
& = \frac{1}{a_3}\int_0^{a_3} dx_3 \frac{1}{a_2}\int_0^{a_2} dx_2 \frac{1}{a_1}\int_0^{a_1} dx_1 g(x_1, x_2, x_3)\cdot e^{-i 2\pi \left(\frac{m_1}{a_1} x_1+\frac{m_2}{a_2} x_2 + \frac{m_3}{a_3} x_3\right)}
\end{align}
</math>
 
''g'' gibi yazarız:
 
:<math>g(x_1, x_2, x_3)=\sum_{m_1=-\infty}^\infty \sum_{m_2=-\infty}^\infty \sum_{m_3=-\infty}^\infty h^\mathrm{three}(m_1, m_2, m_3) \cdot e^{i 2\pi \frac{m_1}{a_1} x_1} \cdot e^{i 2\pi \frac{m_2}{a_2} x_2}\cdot e^{i 2\pi \frac{m_3}{a_3} x_3}</math>
 
Yeniden düzenlenmesi:
 
:<math>g(x_1, x_2, x_3)=\sum_{m_1, m_2, m_3 \in \Z } h^\mathrm{three}(m_1, m_2, m_3) \cdot e^{i 2\pi \left( \frac{m_1}{a_1} x_1+ \frac{m_2}{a_2} x_2 + \frac{m_3}{a_3} x_3\right)}. </math>
 
Şimdi, her ''karşıt'' kafes vektör <math>\mathbf{K} = l_{1}\mathbf{g}_{1} + l_{2}\mathbf{g}_{2} + l_{3}\mathbf{g}_{3}</math> olarak yazılabilir,burada ''l<sub>i</sub>'' tamsayı ve '''g'''<sub>''i''</sub> karşıt kafes vektörlerdir, aslında <math>\mathbf{g_i} \cdot \mathbf{a_j}=2\pi\delta_{ij}</math> 'yi herhangi '''K''' keyfi karşıt kafes vektör için hesaplamaya kullanabiliriz ve '''r''',uzayı içinde keyfi vektör,burada skaler çarpım:
 
:<math>\mathbf{K} \cdot \mathbf{r} = \left ( l_{1}\mathbf{g}_{1} + l_{2}\mathbf{g}_{2} + l_{3}\mathbf{g}_{3} \right ) \cdot \left (x_1\frac{\mathbf{a}_{1}}{a_1}+ x_2\frac{\mathbf{a}_{2}}{a_2} +x_3\frac{\mathbf{a}_{3}}{a_3} \right ) = 2\pi \left( x_1\frac{l_1}{a_1}+x_2\frac{l_2}{a_2}+x_3\frac{l_3}{a_3} \right ).</math>
 
Ve bu yüzden bizim genişletme, toplam karşılıklı kafes vektörleri üzerinde gerçek olduğu açıktır:
 
:<math>f(\mathbf{r})=\sum_{\mathbf{K}} h(\mathbf{K}) \cdot e^{i \mathbf{K} \cdot \mathbf{r}}, </math>
 
burada
 
: <math>h(\mathbf{K}) = \frac{1}{a_3}\int_0^{a_3} dx_3 \frac{1}{a_2}\int_0^{a_2} dx_2 \frac{1}{a_1}\int_0^{a_1} dx_1 f\left(x_1\frac{\mathbf{a}_{1}}{a_1}+x_2\frac{\mathbf{a}_{2}}{a_2}+x_3\frac{\mathbf{a}_{3}}{a_3} \right)\cdot e^{-i \mathbf{K} \cdot \mathbf{r}}. </math>
 
Varsayalım
 
:<math>\mathbf{r} = (x,y,z) = x_1\frac{\mathbf{a}_{1}}{a_1}+x_2\frac{\mathbf{a}_{2}}{a_2}+x_3\frac{\mathbf{a}_{3}}{a_3},</math>
 
Orijinal kartezyen koordinat sistemi içinde hacim elementi hesabı için derece içinde ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub> ve ''x''<sub>3</sub>'in terimleri içinde ''x'', ''y'', ve ''z'' için doğrusal üç denklemin bu sistemi çözülabilir. önce ''x''<sub>1</sub>'in terimleri içinde ''x'', ''y'', ve ''z'' var, ''x''<sub>2</sub> ve ''x''<sub>3</sub>,[[Jacobian matrix and determinant|Jakobiyen determinant]] hesaplanabilir:
 
:<math>\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial x_1}{\partial x} & \dfrac{\partial x_1}{\partial y} & \dfrac{\partial x_1}{\partial z} \\[3pt]
\dfrac{\partial x_2}{\partial x} & \dfrac{\partial x_2}{\partial y} & \dfrac{\partial x_2}{\partial z} \\[3pt]
\dfrac{\partial x_3}{\partial x} & \dfrac{\partial x_3}{\partial y} & \dfrac{\partial x_3}{\partial z}
\end{bmatrix}</math>
 
Bazı hesaplama ve olmayan bazı önemsiz çapraz çarpım kimliklerini uygulamadan sonra eşit olduğu gösterilmiştir edilebilir:
 
: <math>\frac{a_1 a_2 a_3}{\mathbf{a_1}\cdot(\mathbf{a_2} \times \mathbf{a_3})}</math>
 
(Bu hesaplamalar bir kartezyen koordinat sistemi gibi içinde çalıştığı için basitleştirme uğruna avantajlı olabilir,o sadece çok olur ki bu '''a'''<sub>1</sub> x eksenine paraleldir, tüm ''x''-''y'' düzlemi içinde yatan '''a'''<sub>2</sub>, ve '''a'''<sub>3 </sub>üç eksenin bileşenleri var ). Paydadaki ilkel birim hücrenin hacmi tamdır bu '''a'''<sub>1</sub>, '''a'''<sub>2 </sub>ve '''a'''<sub>3 </sub>üç ilkel-vektörlerii ile kapalıdır. Özellikle, şimdi şunu biliyoruz
 
:<math>dx_1 \, dx_2 \, dx_3 = \frac{a_1 a_2 a_3}{\mathbf{a_1}\cdot(\mathbf{a_2} \times \mathbf{a_3})} \cdot dx \, dy \, dz. </math>
 
Biz ilkel hücrenin hacmi üzerinde geleneksel koordinat sisteminin hacmi üzerinde bir integral olarak şimdi ''h''('''K''') yazabiliriz,''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub> ve ''x''<sub>3</sub> değişikliklerin yerine:
 
:<math>h(\mathbf{K}) = \frac{1}{\mathbf{a_1}\cdot(\mathbf{a_2} \times \mathbf{a_3})}\int_{C} d\mathbf{r} f(\mathbf{r})\cdot e^{-i \mathbf{K} \cdot \mathbf{r}} </math>
 
Ve ''C'' ilkel birim hücredir, böylece, <math>\mathbf{a_1}\cdot(\mathbf{a_2} \times \mathbf{a_3})</math> ilkel birim hücrenin hacmidir.
== Tanım ==
 
Satır 342 ⟶ 214:
 
* 29 Aralık 2009 tarihli İngilizce vikipedideki [[:en:Fourier Series|Fourier Series]] makalesinden çevrilmiştir.
==Başlangıçlar==
 
 
=== Devrim niteliğindeki makale ===
 
{{cquote|<math>\varphi(y)=a\cos\frac{\pi y}{2}+a'\cos 3\frac{\pi y}{2}+a''\cos5\frac{\pi y}{2}+\cdots.</math>
 
İki tarafı da <math>\cos(2k+1)\frac{\pi y}{2}</math> ile çarpıp ve sonra <math>y=-1</math> den <math>y=+1</math> e integralini aldığımızda:
 
<math>a_k=\int_{-1}^1\varphi(y)\cos(2k+1)\frac{\pi y}{2}\,dy.</math>
|30px|30px|[[Joseph Fourier]]|Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides, sf. 218–219.<ref>[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k33707.image.r=Oeuvres+de+Fourier.f223.pagination.langFR Gallica - Fourier, Jean-Baptiste-Joseph (1768-1830). Oeuvres de Fourier. 1888]</ref>}}
 
Bu modern yaklaşıma oldukça yakın olan birkaç satırda Fourier'in yaptığı bu denklemler fizik ve matemetikte devrim niteliğinde etki bırakmıştır. Her ne kadar burada kullanılan trigonometrik denklem ve seriler daha önceleri [[Euler]], [[Jean le Rond d'Alembert|d'Alembert]], [[Daniel Bernoulli]] ve [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] tarafından kullanılmış olsa da Fourier bu denklemlerin sıradan, karmaşık dalga çeşitlerinin de bu serilerle gösterilebileceğini gösterir.
 
Bu teorinin kullanımı daha önceleri epey karmaşık olan [[Seri (matematik)|uzaksak seriler]], [[fonksiyon uzayı]] ve harmonik analizinde önemli yenilik ve kolaylıklar getirmiştir.
 
Fourier bu çalışmasını [[1807]]'de komiteye gösterdiğinde -ki komitede [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]], [[Laplace]], [[Etienne-Louis Malus|Malus]] ve [[Legendre]] gibi önemli isimler vardı- '''''...yazarın bu denklemlere ulaşmadaki yolu karmaşıklıktan ve zorluktan tamamen uzak olup[...] onun analiz için sentezleri basitlik ve genellik bakımından şiddetli bir hayranlık uyandıracak seviyededir.''''' diyerek yorumlarlar.
 
=== Harmonik analizin doğuşu ===
 
Fourier'in zamanından beri Fourier serilerinin konseplerini tanımlamak ve anlamak için birçok farklı yaklaşım keşfedildi. Bu keşiflerin her biri asıl teoriyi destekler ve konunun farklı noktalarına vurgu yapacak mahiyetteydi. Fourier bu orijinal çalışmayı yaparken henüz bilinmeyen, keşfedilmeyen birçok matematiksel işlevi olan denklemle daha sonraları çok güçlü ve seçkin yaklaşımlar keşfedildi. Fourier asıl makalesinde sadece gerçek değerli Sinüs ve kosinüs denklemlerini kullanmıştı.
 
Bunların en önemlisi kompleks değerli üstel fonksiyonlar dır ve '''e<sup>ixk<sub>o</sub></sup>''' şeklinde ifade edilirler. Aynı zamanda komleks harmonikler olarak adlandırılır ve harmonik analizin temelidir.
 
Fourier serileriyle ilgili birçok transform da farklı yaklaşımlara ve fikirlere genişletilecek şekilde keşfedilmiş ve kullanılmıştır. Bunlardan en önemlileri [[Fourier dönüşümü|Fourier dönüşümü]] ve [[Z-dönüşümü|Z-dönüşümü]]dür.
 
==Uzantılar==
 
=== Bir kare üzerinde Fourier serisi ===
kare [−π,&nbsp;π]×[−π,&nbsp;π] içinde ''x'' ve ''y'' iki değişkenin fonksiyonları için Fourier serisi tanımlanabilir :
:<math>f(x,y) = \sum_{j,k \in \mathbf{Z}\text{ (integers)}} c_{j,k}e^{ijx}e^{iky},</math>
:<math>c_{j,k} = {1 \over 4 \pi^2} \int_{-\pi}^\pi \int_{-\pi}^\pi f(x,y) e^{-ijx}e^{-iky}\, dx \, dy.</math>
Aside from being useful for solving partial differential equations such as the ısı denklemi gibi kısmi diferansiyel denklemlerin çözümü için kullanışlı olduğu bir yana kare üzerinde Fourier serisinin tek kaydadeğer uygulama [[imaj baskısı]] içindedir. Özel olarak, [[jpeg]] imaj baskı standardı iki-boyutlu [[ayrık cosin dönüşümü]] kullanılır,burda bir Fourier transformu cosin taban fonksiyonları kullanılıyor.
 
=== Bravais-kafes-periodik-fonksiyonunun Fourier serisi ===
[[Bravais kafesi]] formun vektörlerinin kümesi olarak tanımlanabilir:
:<math>\mathbf{R} = n_{1}\mathbf{a}_{1} + n_{2}\mathbf{a}_{2} + n_{3}\mathbf{a}_{3}</math>
Burada ''n<sub>i</sub>'' tamsayıdır ve '''a'''<sub>''i''</sub> üç doğrusal bağımsız vektörlerdir.Bazı fonksiyonlar varsayalım, ''f''('''r'''), böylece herhangi Bravais kafes vektör '''R''': ''f''('''r''') = ''f''('''r'''&nbsp;+&nbsp;'''R''') için durum aşağıdakine uyar,bunun bir Fourier serisi yapılabilir.Fonksiyonun bu türü , örneğin,bu etkin potansiyel bir elektronu bir periyodik kristal içinde "hissedebilir". Bu potansiyelin bir Fourier serisi yapmak için yararlı ise [[Bloch's Theorem|Bloch teoremi]] uygulanıyor. Birincisi,kafesin koordinat-sistemi içinde herhangi keyfi vektör '''r''' yazabiliriz:
 
: <math>\mathbf{r} = x_1\frac{\mathbf{a}_{1}}{a_1}+ x_2\frac{\mathbf{a}_{2}}{a_2}+ x_3\frac{\mathbf{a}_{3}}{a_3},</math>
 
burada ''a''<sub>''i''</sub> = |'''a'''<sub>''i''</sub>|.
 
Böylece yeni bir fonksiyon tanımlayabiliriz,
 
: <math>g(x_1,x_2,x_3) := f(\mathbf{r}) = f \left (x_1\frac{\mathbf{a}_{1}}{a_1}+x_2\frac{\mathbf{a}_{2}}{a_2}+x_3\frac{\mathbf{a}_{3}}{a_3} \right ).</math>
 
Bu yeni fonksiyon, <math>g(x_1,x_2,x_3)</math>,şimdi üç-değişikliklerin bir fonksiyonudur,bunun her ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub> periyodisite var, ''a''<sub>3</sub> sırasıyla: <math>g(x_1,x_2,x_3) = g(x_1+a_1,x_2,x_3) = g(x_1,x_2+a_2,x_3) = g(x_1,x_2,x_3+a_3)</math>.
 
''x''<sub>1</sub> içinde [0, ''a''<sub>1</sub>] aralığı üzerinde ''g'' için bir serisi yazılırsa ,aşağıdakini tanımlayabilir:
 
:<math>h^\mathrm{one}(m_1, x_2, x_3) := \frac{1}{a_1}\int_0^{a_1} g(x_1, x_2, x_3)\cdot e^{-i 2\pi \frac{m_1}{a_1} x_1}\, dx_1</math>
 
Ve o zaman:
 
:<math>g(x_1, x_2, x_3)=\sum_{m_1=-\infty}^\infty h^\mathrm{one}(m_1, x_2, x_3) \cdot e^{i 2\pi \frac{m_1}{a_1} x_1}</math>
 
yazabiliriz
 
Daha ileri tanım:
 
:<math>
\begin{align}
h^\mathrm{two}(m_1, m_2, x_3) & := \frac{1}{a_2}\int_0^{a_2} h^\mathrm{one}(m_1, x_2, x_3)\cdot e^{-i 2\pi \frac{m_2}{a_2} x_2}\, dx_2 \\[12pt]
& = \frac{1}{a_2}\int_0^{a_2} dx_2 \frac{1}{a_1}\int_0^{a_1} dx_1 g(x_1, x_2, x_3)\cdot e^{-i 2\pi \left(\frac{m_1}{a_1} x_1+\frac{m_2}{a_2} x_2\right)}
\end{align}
</math>
 
Biz bir kez daha ''g'' yazabilir:
 
:<math>g(x_1, x_2, x_3)=\sum_{m_1=-\infty}^\infty \sum_{m_2=-\infty}^\infty h^\mathrm{two}(m_1, m_2, x_3) \cdot e^{i 2\pi \frac{m_1}{a_1} x_1} \cdot e^{i 2\pi \frac{m_2}
{a_2} x_2}</math>
 
Nihayet üçüncü koordinat için aynısı uygulanarak tanımlanır:
 
: <math>
\begin{align}
h^\mathrm{three}(m_1, m_2, m_3) & := \frac{1}{a_3}\int_0^{a_3} h^\mathrm{two}(m_1, m_2, x_3)\cdot e^{-i 2\pi \frac{m_3}{a_3} x_3}\, dx_3 \\[12pt]
& = \frac{1}{a_3}\int_0^{a_3} dx_3 \frac{1}{a_2}\int_0^{a_2} dx_2 \frac{1}{a_1}\int_0^{a_1} dx_1 g(x_1, x_2, x_3)\cdot e^{-i 2\pi \left(\frac{m_1}{a_1} x_1+\frac{m_2}{a_2} x_2 + \frac{m_3}{a_3} x_3\right)}
\end{align}
</math>
 
''g'' gibi yazarız:
 
:<math>g(x_1, x_2, x_3)=\sum_{m_1=-\infty}^\infty \sum_{m_2=-\infty}^\infty \sum_{m_3=-\infty}^\infty h^\mathrm{three}(m_1, m_2, m_3) \cdot e^{i 2\pi \frac{m_1}{a_1} x_1} \cdot e^{i 2\pi \frac{m_2}{a_2} x_2}\cdot e^{i 2\pi \frac{m_3}{a_3} x_3}</math>
 
Yeniden düzenlenmesi:
 
:<math>g(x_1, x_2, x_3)=\sum_{m_1, m_2, m_3 \in \Z } h^\mathrm{three}(m_1, m_2, m_3) \cdot e^{i 2\pi \left( \frac{m_1}{a_1} x_1+ \frac{m_2}{a_2} x_2 + \frac{m_3}{a_3} x_3\right)}. </math>
 
Şimdi, her ''karşıt'' kafes vektör <math>\mathbf{K} = l_{1}\mathbf{g}_{1} + l_{2}\mathbf{g}_{2} + l_{3}\mathbf{g}_{3}</math> olarak yazılabilir,burada ''l<sub>i</sub>'' tamsayı ve '''g'''<sub>''i''</sub> karşıt kafes vektörlerdir, aslında <math>\mathbf{g_i} \cdot \mathbf{a_j}=2\pi\delta_{ij}</math> 'yi herhangi '''K''' keyfi karşıt kafes vektör için hesaplamaya kullanabiliriz ve '''r''',uzayı içinde keyfi vektör,burada skaler çarpım:
 
:<math>\mathbf{K} \cdot \mathbf{r} = \left ( l_{1}\mathbf{g}_{1} + l_{2}\mathbf{g}_{2} + l_{3}\mathbf{g}_{3} \right ) \cdot \left (x_1\frac{\mathbf{a}_{1}}{a_1}+ x_2\frac{\mathbf{a}_{2}}{a_2} +x_3\frac{\mathbf{a}_{3}}{a_3} \right ) = 2\pi \left( x_1\frac{l_1}{a_1}+x_2\frac{l_2}{a_2}+x_3\frac{l_3}{a_3} \right ).</math>
 
Ve bu yüzden bizim genişletme, toplam karşılıklı kafes vektörleri üzerinde gerçek olduğu açıktır:
 
:<math>f(\mathbf{r})=\sum_{\mathbf{K}} h(\mathbf{K}) \cdot e^{i \mathbf{K} \cdot \mathbf{r}}, </math>
 
burada
 
: <math>h(\mathbf{K}) = \frac{1}{a_3}\int_0^{a_3} dx_3 \frac{1}{a_2}\int_0^{a_2} dx_2 \frac{1}{a_1}\int_0^{a_1} dx_1 f\left(x_1\frac{\mathbf{a}_{1}}{a_1}+x_2\frac{\mathbf{a}_{2}}{a_2}+x_3\frac{\mathbf{a}_{3}}{a_3} \right)\cdot e^{-i \mathbf{K} \cdot \mathbf{r}}. </math>
 
Varsayalım
 
:<math>\mathbf{r} = (x,y,z) = x_1\frac{\mathbf{a}_{1}}{a_1}+x_2\frac{\mathbf{a}_{2}}{a_2}+x_3\frac{\mathbf{a}_{3}}{a_3},</math>
 
Orijinal kartezyen koordinat sistemi içinde hacim elementi hesabı için derece içinde ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub> ve ''x''<sub>3</sub>'in terimleri içinde ''x'', ''y'', ve ''z'' için doğrusal üç denklemin bu sistemi çözülabilir. önce ''x''<sub>1</sub>'in terimleri içinde ''x'', ''y'', ve ''z'' var, ''x''<sub>2</sub> ve ''x''<sub>3</sub>,[[Jacobian matrix and determinant|Jakobiyen determinant]] hesaplanabilir:
 
:<math>\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial x_1}{\partial x} & \dfrac{\partial x_1}{\partial y} & \dfrac{\partial x_1}{\partial z} \\[3pt]
\dfrac{\partial x_2}{\partial x} & \dfrac{\partial x_2}{\partial y} & \dfrac{\partial x_2}{\partial z} \\[3pt]
\dfrac{\partial x_3}{\partial x} & \dfrac{\partial x_3}{\partial y} & \dfrac{\partial x_3}{\partial z}
\end{bmatrix}</math>
 
Bazı hesaplama ve olmayan bazı önemsiz çapraz çarpım kimliklerini uygulamadan sonra eşit olduğu gösterilmiştir edilebilir:
 
: <math>\frac{a_1 a_2 a_3}{\mathbf{a_1}\cdot(\mathbf{a_2} \times \mathbf{a_3})}</math>
 
(Bu hesaplamalar bir kartezyen koordinat sistemi gibi içinde çalıştığı için basitleştirme uğruna avantajlı olabilir,o sadece çok olur ki bu '''a'''<sub>1</sub> x eksenine paraleldir, tüm ''x''-''y'' düzlemi içinde yatan '''a'''<sub>2</sub>, ve '''a'''<sub>3 </sub>üç eksenin bileşenleri var ). Paydadaki ilkel birim hücrenin hacmi tamdır bu '''a'''<sub>1</sub>, '''a'''<sub>2 </sub>ve '''a'''<sub>3 </sub>üç ilkel-vektörlerii ile kapalıdır. Özellikle, şimdi şunu biliyoruz
 
:<math>dx_1 \, dx_2 \, dx_3 = \frac{a_1 a_2 a_3}{\mathbf{a_1}\cdot(\mathbf{a_2} \times \mathbf{a_3})} \cdot dx \, dy \, dz. </math>
 
Biz ilkel hücrenin hacmi üzerinde geleneksel koordinat sisteminin hacmi üzerinde bir integral olarak şimdi ''h''('''K''') yazabiliriz,''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub> ve ''x''<sub>3</sub> değişikliklerin yerine:
 
:<math>h(\mathbf{K}) = \frac{1}{\mathbf{a_1}\cdot(\mathbf{a_2} \times \mathbf{a_3})}\int_{C} d\mathbf{r} f(\mathbf{r})\cdot e^{-i \mathbf{K} \cdot \mathbf{r}} </math>
 
Ve ''C'' ilkel birim hücredir, böylece, <math>\mathbf{a_1}\cdot(\mathbf{a_2} \times \mathbf{a_3})</math> ilkel birim hücrenin hacmidir.
 
== Ayrıca bakınız ==
"https://tr.wikipedia.org/wiki/Fourier_serisi" sayfasından alınmıştır