Ana menüyü aç

Değişiklikler

Yazım ve noktalama düzeltisi. Yazımında şapka gerekmeyen kullanımlardan ibare kaldırılmıştır. Cümle anlam bütünlüğüne uygun düzenlemeler yapılmış, anlatım bozuklukları giderilmiştir.
'''Ortalama''' veya [[merkezsel konum ölçüleri]] [[matematik]] ana biliminde , özellikle [[istatistik]] bilim dalında, bir anakütle veya örneklem veri dizisi değerlerini temsil eden tek bir ''orta'' değeri veya [[beklenen değer]]i, yani tüm veri dizisinin orta konumunu, tek bir sayı ile ifade eden [[betimsel istatistik]] ölçüsüdür. Genel olarak günlük pratik hayatta çok popüler olarak kullanılan ortalama [[aritmetik ortalama]] olmakla beraber, bu ölçünün çok belirli dezavantajları olduğu göz önüne alınarak, birçok değişik [[merkezsel konum ölçüleri]] geliştirilmiş ve pratikte kullanılmaktadır. [[İstatistik]]dete bilimsel olarak ortalamalar kavramına bir aksiyomatik yaklaşım J.Bibby (1974) tarafından verilmiştir.<ref>Bibby, J. (1974) "Axiomatisations of the average and a further generalization of monotonic sequences" ''Glasgow Mathematical Journal'' C.15, say.63–65.</ref>
 
==Tarihçe==
 
Ortalama kavramı başlangiçtabaşlangıçta ''deniz nakliyatında ortaya çıkan zarar'' kavramından geliştirilmiştir. Deniz nakliyatindanakliyatında zarar, ya zarar gören esyaeşya sahibi tarafından ''özel avarya'' olarak tümüyle yüklenilir veya nakil edilennakledilen eşyaların satış kârını ortak olarak paylaşanlar tarafından ''genel avarya'' ortaklık payına göre olarak karşılanır. ''Genel avarya'' hesabının yapılması için geliştirilip kullanılan matematiksel hesaplar aritmetik ortalamanın ilk kullanılma alanı olmuştur. Bu kavrama Arapça ''avar'', Italyanca ''avaria'', Türkçede (pek çok denizcilik terimi gibi İtalyanca'dan alınan) ''avarya'' ve İngilizce ''average'' adı verilmektedir. İngilizce'de ayniaynı sözcük, ve bazı günlük pratik hallerde TurkçeTürkçe'de kullanılan ''avarajaveraj'' sözcüğü ''ortalama''ya eşit anlamda kullanılmaktadır.
 
== Ortalama tipleri ==
 
Ortalama bir sayısal veri dizisininin merkezsel konumunu temsil etmek için seçilen tek bir sayı halinde bir özettir. Eğer veri dizisinde tüm elemanlar aynı sayı ise ortalama bu tek sayıdır. Ancak bu tip veri dizisi pratikte gayet az olarak bulunduğu, hatta nerede ise hiç bulunmadığı, için, bir pratik veri dizisinin merkezsel konumunu farklı şekilde temsil edecek ortalamalar geliştirilmiştir. Önce bu ortalamalardan en çok kullanılanları kısaca ele alınacak ve sonra daha geniş kapsamlı bir tablo sunulacaktır.
 
=== En çok kullanılan ortalama tipleri ===
Burada <math> \bar{x}</math> örneklem aritmetik ortalaması sembolüdür; anakütle aritmetik ortalaması için μ kullanılır.
İstatistikteBu yöntem istatistikte sıkça kullanılır. Fakat bazı eksik yönleri vardır.
* Verilerin [[ölçülme ölçeği]]nin ya aralıklı veya oransal olması gerekir. [[İsimsel ölçekli]] veriler için aritmetik ortalama anlamsızdır. Birçok istatistikçi [[sırasal ölçekli]] veriler için aritmetik ortalamanın anlamsız olduğunu kabul etmektedirler; ancak pratikte, özellikle bir anketten ortaya çıkarılan, sırasal ölçekli veriler için aritmetik ortalama hesaplanıp önemli alanlarda kullanılmaktadirkullanılmaktadır.
* Eğer anakütle veya örneklem veri dağılımı simetrik olmayıp [[çarpıklık]] gösteriyorsa, aritmetik ortalama merkezsel değer olmaktan çıkıp çarpıklık kuyruğunun bulunduğu tarafa doğru gitmeye eğilimlidir. Bu halde aritmetik ortalama istatistik bilenlerin, istatistik bilmeyenlere karşı kullanabilecekleri bir aldatmaca yolu olarak da kullanılabilir.
 
Örnek: Bir işyerindeiş yerinde işçiler maaşlarının düşük olmasından dolayı şikayetçidirler. Fakat yöneticiler tam tersini savunabilirler. Maaş dağılımları şöyle olsun:
:1 Genel Müdür: 15.000,00 YTL
:2 tane Genel Müdür Yardımcısı: her biri 5.500,00 YTL
:Böyle bir durumda maaşların aritmetik ortalaması alınırsa
:[15000+(2x5500)+(5x1500)+(30x1000)]/38 = 1.671,05 YTL
olarak ortalama aylık maaş hesaplanır. Ama bu ortalama merkezsel konumu göstermez. 38 personelden ancak 3u3'ü ortalamadan fazla maaş almakta görülmektedir ve maaş dağılımı çok bariz şekilde çarpıktır. Çok küçük sayıda kişi (müdür ve 2 yardımcısı) karşılaştırılmalı olarak çok büyük değerde maaş almakta ama çok büyük sayıda kişi düşük değerde maaş almaktadır. Böylece maaş dağılımı gayet asimetrik olup sağda bir ince uzun bir kuyruk bulunmaktadır; veri dağılımı pozitif çarpıklık göstermektedir. Bu nedenle maaş aritmetik ortalaması merkezsel konum göstergesi olmaktan çıkmıştır.
 
==== Geometrik ortalama ====
 
Bu tür ortalamanın da dezavantajları bulunmaktadır:
* Büyük bir sayıda kök almak el hesabı ile imkânsızimkansız olduğu için bu tür ortalama genel olarak elektronik hesap makinelerinin veya kompüterlerinbilgisayarların gelişmesinden önce kullanılması çok zor olmaktaydı. Verilerin logaritması alınıp; bu logaritma verilerinin toplamı bulunup;bulunduktan sonra eldeki veri büyüklük sayısına bölünmesi ilebölünerek geometrik ortalamanın logaritma değeri bulunup;bulunur, bunun antilogaritmasının alınması gerekmekteydigerekirdi. Orta basitlikte hesaplar yapabilen elektronik hesap makinaları veya kompüter kullanılarak geometrik ortalama almak çok kolaylaşmıştır.
* Geometrik ortalama bulabilmek için verilerin pozitif değerde olması gerekmektedir yani veri değerlerinin özellikle sıfır veya negatif olmaması gerekmektedir. Eğer tek bir veri değerdeğeri sıfır ise, geometrik ortalama almak anlamsız olacaktır.
* Ayrıca verilerin [[ölçülme ölçeği]]nin oransal olması gerekir; [[ölçülme ölçeği#isimsel ölçekli|isimsel ölçekli]], [[ölçülme ölçeği#sırasal ölçekli|sırasal ölçekli]] ve [[ölçülme ölçeği#aralıksal ölçekli|aralıksal ölçekli]] veri değerleri için geometrik ortalama anlamsız olur.
 
* {{ana madde|Mod}}
 
[[Mod]] veri dizisi içinde en çok defa tekrarlanan veri değeridir. Mod [[ölçülme ölçeği#isimsel ölçekli|isimsel ölçekli]] veriler için anlamlı olan tek ortalama ölçüsüdür. Ancak veri dizisi içinde tek bir mod olmayabilir. Yahut tayahut birden fazla sayıda mod bulunabilir.
 
==== Medyan ====
* ''Ana madde: [[Medyan (tek-değişirli)|Medyan]]''
 
[[Medyan (tek-değişirli)|Medyan]] bir veri dizisinin küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe sıralanmasından sonra bu dizinin tam ortasında bulunan değerdir. Eğer veri büyüklüğü tek sayılı ise medyan verilen bir veri değerine eşit olur. Eğer veri büyüklüğü çift sayılı ise medyan orta iki değerin ortalaması olur. Medyan bulmak için basit bir algoritmaya göre, sıralanmış veri değerlerinin kalan en küçük ve en büyük değerleri birer birer elimine edilir; veri sayısı tek ise en son kalan tek veri medyandır; eğer veri sayısı çift ise son kalan iki veri çiftinin ortalaması medyan olur.
 
=== Genelleştirilmiş ortalama türleri ===
** ''Harmonik ortalama'' için ''f''(''x'')= 1/''x'' olur.
** Çok az bilinen ''üstel ortalama'' için ''f''(''x'')=''e''<sup>''x''</sup> olur.
Ancak bu genelleştirme ile tüm ortalamaların ayrı ayrı formüllerini bulmak imkânsızdırimkansızdır.
 
* Diğer bir genelleştirme, ortalamalar listesi elamanlarının permütasyonu halinde simetrik olan bir g(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub>) fonksiyonunun değişik şekillerde ifadesi ile yapılır:<ref>Bakın Bibby,J. (1974) "Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences", ''Glasgow Mathematical Journal,'' C.15, say. 63–65,</ref>
=== Değişik ortalama tipleri özeti ===
 
[[İstatistik]] bilim dalında bir sıra değişik ortalama tipleri geliştirilmiş ve bunlardan araştırıcının isteğine göre birinin veya bir kaçınınbirkaçının eldeki veriler için [[merkezsel konum ölçüleri|merkezsel konum ölçüsü]] olarak kullanılması imkânıimkanı sağlanmıştır.
 
{|class="wikitable" style="background: white;"
1.157

değişiklik