Kategori teorisi: Revizyonlar arasındaki fark
| [kontrol edilmiş revizyon] | [kontrol edilmiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
k →Tarihi: düzen |
Değişiklik özeti yok |
||
10. satır:
Günümüzde bu kuram, matematiğin tüm alanlarında uygulanmaktadır.
===Kategoriler===
Bir ''kategori'' ''C'' aşağıdaki üç matematiksel durumu oluşturur:
* Bir [[Class (set theory)|sınıf]] ob(''C''), böyle ögelere ''nesneler'' denir;
* Bir sınıf hom(''C''), böyle ögelere [[biçim]]ler veya [[Map (mathematics)|göndermeler]] veya ''oklar'' denir. Her biçim '''''f''''' bir ''kaynak nesne '''a''''' ve ''hedef nesne '''b''''' var. <br/>{{nowrap|1=''f'' : ''a'' → ''b''}} ifadesi, sözlü olarak ifadesi "''f'' ''a'' dan ''b''ye bir biçimdir".<br/>{{nowrap|1='''hom(''a'', ''b'')'''}} ifadesi — alternatif ifade olarak {{nowrap|1='''hom<sub>''C''</sub>(''a'', ''b'')'''}}, {{nowrap|1='''mor(''a'', ''b'')'''}}, veya {{nowrap|1='''''C''(''a'', ''b'')'''}} — ''a'' dan ''b''ye tüm biçimlerin ''hom-sınıf'' ifadesidir.
* Bir [[ikili işlem]] ∘, ''biçimlerin kompozisyonu'' denir, böylece ''a'', ''b'', ve ''c'' herhangi üç nesne için, elimizde {{nowrap|1=hom(''b'', ''c'') × hom(''a'', ''b'') → hom(''a'', ''c'')}} var.{{nowrap|1=''f'' : ''a'' → ''b''}} nin kompozisyonu ve {{nowrap|1=''g'' : ''b'' → ''c''}} {{nowrap|1=''g'' ∘ ''f''}} veya ''gf'' olarak yazılır,<ref>Some authors compose in the opposite order, writing ''fg'' yazılır veya {{nowrap|1=''g'' ∘ ''f''}} için {{nowrap|1=''f'' ∘ ''g''}}.Kategori teorisi kullanılarak bilgisayar bilimcileri çok sık yazmak {{nowrap|1=''f'' ; ''g''}} {{nowrap|1=''g'' ∘ ''f''}} için</ref> aksiyom ile yönetilir:
** [[Birleşimlilik]]: Eğer {{nowrap|1=''f'' : ''a'' → ''b''}}, {{nowrap|1=''g'' : ''b'' → ''c''}} ve {{nowrap|1=''h'' : ''c'' → ''d''}} ise {{nowrap|1=''h'' ∘ (''g'' ∘ ''f'') = (''h'' ∘ ''g'') ∘ ''f''}}, ve
** [[Identity (mathematics)|Özdeşlik]]: ''x'' nesnesi için, burada bir morfizm {{nowrap|1=1<sub>''x''</sub> : ''x'' → ''x''}} var. x için ''[[özdeş morfizm]] '' denir, böylece her {{nowrap|1=''f'' : ''a'' → ''b''}} morfizm için, elimizde {{nowrap|1=1<sub>''b''</sub> ∘ ''f'' = ''f'' = ''f'' ∘ 1<sub>''a''</sub>}} var.
::aksiyomlardan,buna burada her nesne için tam bir [[özdeş morfizm]] sağlanabilir. Bazı yazarlar sadece kendi özdeş morfizmalarını tanımlayarak verilen tanımından sapabilir.
===Morfizmler===
morfizmler boyunca ilişkiler ({{nowrap|1=''fg'' = ''h''}} gibi) [[değişmeli diyagram]]lar , ile "noktalar" (köşeler) gösterimsel nesneler ve "oklar" gösterimsel biçimler sık sık kullanılarak gösterilmiştir.
[[Morfizm]]ler için aşağıdaki özelliklerin herhangisi olabilir. Bir morfizm {{nowrap|1=''f'' : ''a'' → ''b''}} bir:
* [[monomorfizm]] (veya ''monik'') eğer {{nowrap|1=''f'' ∘ ''g''<sub>1</sub> = ''f'' ∘ ''g''<sub>2</sub>}} vurgusu {{nowrap|1=''g''<sub>1</sub> = ''g''<sub>2</sub>}} tüm {{nowrap|1=''g''<sub>1</sub>, ''g<sub>2</sub>'' : ''x'' → ''a''}} morfizmler için.
* [[epimorfizm]] (veya ''epik'') eğer {{nowrap|1=''g''<sub>1</sub> ∘ ''f'' = ''g''<sub>2</sub> ∘ ''f''}} vurgusu {{nowrap|1=''g<sub>1</sub>'' = ''g<sub>2</sub>''}} tüm {{nowrap|1=''g<sub>1</sub>'', ''g<sub>2</sub>'' : ''b'' → ''x''}} morfizmler için.
* ''bimorfizm'' eğer ''f'' hem epik ve hemde moniktir.
* [[izomorfizm]] eğer burada bir morfizm {{nowrap|1=''g'' : ''b'' → ''a''}} var böylece {{nowrap|1=''f'' ∘ ''g'' = 1<sub>''b''</sub> ve ''g'' ∘ ''f'' = 1<sub>''a''</sub>}}.<ref>Note that a morphism that is both epic and monic is not necessarily an isomorphism! An elementary counterexample: in the category consisting of two objects ''A'' ve ''B'', özdeş biçimler, ve from ''A'' dan ''B''ye bir tek morfizm ''f'', ''f'' is both epic and monic but is not bir isomorphism.</ref>
* [[endomorfizm]] eğer {{nowrap|1=''a'' = ''b''}}. ise end(''a'') ''a''nın endomorfizminin sınıfını ifade eder.
* [[otomorfizm]] eğer ''f'' hem bir endomorfizm ve hemde bir izomorfizmdir. aut(''a'') ''a''nın otomorfizmlerinin sınıfını ifade eder.
* [[retract (category theory)|çekilme]] eğer ''f''nin bir sağ tersi var, yani eğer burada bir morfizm {{nowrap|1=''g'' : ''b'' → ''a''}} ile {{nowrap|1=''f'' ∘ ''g'' = 1<sub>''b''</sub>}} varsa.
* [[section (category theory)|kesit]] eğer ''f'' in bir sol tersi var, yani eğer burada bir morfizm {{nowrap|1=''g'' : ''b'' → ''a''}} ile {{nowrap|1=''g'' ∘ ''f'' = 1<sub>''a''</sub>}} varsa .
Her çekilme bir epimorfizmdir, ve her kesit bir monomorfizmdir.Dahası, aşağıdaki üç durumun eşdeğeridir:
* ''f'' bir monomorfizm ve bir çekilmedir;
* ''f'' bir epimorfizm ve bir kesittir;
* ''f'' bir izomorfizmdir.
== Kaynakça ==
| |||