Grup (matematik): Revizyonlar arasındaki fark

Gerekçe: + deneme amaçlı değişiklik
(öbek yerine grup vurgusu yapıldı. özelliklerde bazı düzenlemeler yapıldı.)
(Gerekçe: + deneme amaçlı değişiklik)
{{Diğer anlamı|Grup}}
'''Grup Öbek''' (veya '''öbekgrup'''), [[soyut cebir]]in en temel matematiksel yapısıdır. GrupÖbek, öncelikle öğeleribir [[küme]]dir, [[öğe]]leri boş olmayan ve üzerinde bir ikiliküme işlemve üzerine tanımlı bir [[kümeikili işlem]]diri olan bir kümedir. [[Öbek kuramı|Grup kuramı]], bu işlemin özelliklerine göre gruplarıöbekleri inceler. Soyut cebirin [[halka]], [[cisim (matematik)|cisim]], [[modül]] gibi diğer yapılarının temelini oluşturur.
 
== Tanım ==
Eğer [[Boşkümeboşküme]]den farklı ve üzerinde bir tane [[ikili işlem]] tanımlanmış bir ''G'' [[küme]]si aşağıdaki özellikleri sağlar:
* Kapalılık[[Bileşme]]: Her ''a, b, c'' <math>\in</math> ''G'' için ''a (bc)=(ab)c''''<math>\cdot</math> ''''b'''' ''<math>\in</math>'' ''G'' olmalıdır.''
[[belit]]ini sağlıyorsa bir '''[[yarı öbek]]'''tir (yarıgrup). Eğer bir yarı öbek,
* Asosyatiflik: Her ''a, b, c'' <math>\in</math> ''G'' için ''a''''<math>\cdot</math>''''(b''''<math>\cdot</math>''''c)=(a''''<math>\cdot</math>''''b)''''<math>\cdot</math>''''c''. Bu özelliği sağlayan gruba, "yarı grup" denir.
* (iki yönlü) [[TersinirBirim öğe]]: Her ''a'' <math>\in</math> ''G'' için öyle bir ''e'' <math>a^{-1} \in</math> ''G'' vardır ki <math>a^{-1} a ''ea=ae= a a^{-1}=e</math>''.
belitini sağlıyorsa bu kümeye '''[[birlik]]''' (monoid) denir. Eğer bir birlik,
* [[DeğişmeTersinir öğe]]: Her ''a, b'' <math>\in</math> ''G'' için ''a''''öyle bir <math>a^{-1} \cdotin</math> ''G''b=b'''' vardır ki <math>\cdota^{-1} a = a a^{-1}=e</math>''''a''.
belitini sağlıyorsa kümeye '''öbek''' (grup) adı verilir.
 
Eğer bir grupöbek,
* [[Birim öğe]]: Her ''a'' <math>\in</math> ''G'' için öyle bir ''e'' <math>\in</math> ''G'' vardır ki ''e''''<math>\cdot</math>''''a=a''''<math>\cdot</math>''''e=a''. Burada ''e'' elemanına, "birim eleman" denir.
* [[Değişme]]: Her ''a, b'' <math>\in</math> ''G'' için ''ab=ba''.
 
özelliğinibelitini sağlıyorsa bu gruba '''değişmeli grup öbek''' (değişmeli öbekgrup) ya da [[Abel]]'in anısına '''[[Abelyen öbek|Abelyen grup]]''' (abelyen öbekgrup) denirolarak adlandırılır. Bir[[İşlem]]i grupvurgulamak için ''(G, <math>\cdot</math>)'' gösterimi kullanılır (ki burada "''<math>\cdot</math>''" burada işlemin simgesidir).
* [[Tersinir öğe]]: Her ''a'' <math>\in</math> ''G'' için öyle bir <math>a^{-1} \in</math> ''G'' vardır ki <math>a^{-1} a = a a^{-1}=e</math>.
Eğer bir grup,
* [[Değişme]]: Her ''a, b'' <math>\in</math> ''G'' için ''a''''<math>\cdot</math>''''b=b''''<math>\cdot</math>''''a''.
özelliğini sağlıyorsa bu gruba '''değişmeli grup '''(değişmeli öbek) ya da [[Abel]]'in anısına '''[[Abelyen öbek|Abelyen grup]]''' (abelyen öbek) denir. Bir grup için ''(G, <math>\cdot</math>)'' gösterimi kullanılır ("''<math>\cdot</math>''" burada işlemin simgesidir).
 
[[Öbek kuramı|Grup kuramı]] (öbekgrup kuramı), demin tanımladığımız [[öbek|grup]] (öbekgrup) yapısıyla ilgilenir. GrubuÖdeği tanımlarken yaptığımız tanımlar ise çoğunlukla bazı kesin teoremleri en genel halleriyle ifade etmek için kullanılır.
 
Bir grubunöbeğin [[mertebe]]si ''|G|'' ile gösterilen [[kardinal sayı]]dır (yani kümenin [[öğe]] sayısıdır). ''|G|'' [[sonlu]]ysa (ya da [[sonsuz]]sa), ''G'' ye [[sonlu öbek|sonlu grup]] (ya da [[sonsuz öbek|sonsuz ]]<nowiki/>grup) denir.
 
== Bazı GrupÖrnekleriÖbek Örnekleri ==
* Toplama işlemiyle [[tam sayı]]lar kümesi <math>(Z,+)</math>, değişmeli bir grupturöbektir.
* Çarpma
* Çarpma işlemiyle tam sayılar kümesi abelyen bir gruptur.
 
== Kaynaklar ==