Grup (matematik): Revizyonlar arasındaki fark

öbek yerine grup vurgusu yapıldı. özelliklerde bazı düzenlemeler yapıldı.
(öbek yerine grup vurgusu yapıldı. özelliklerde bazı düzenlemeler yapıldı.)
{{Diğer anlamı|Grup}}
'''ÖbekGrup ''' (veya '''grupöbek'''), [[soyut cebir]]in en temel matematiksel yapısıdır. ÖbekGrup, öncelikle bir [[küme]]dir, [[öğe]]leriöğeleri boş olmayan ve üzerinde bir kümeikili ve üzerineişlem tanımlı bir [[ikili işlemküme]]i olan bir kümedirdir. [[Öbek kuramı|Grup kuramı]], bu işlemin özelliklerine göre öbeklerigrupları inceler. Soyut cebirin [[halka]], [[cisim (matematik)|cisim]], [[modül]] gibi diğer yapılarının temelini oluşturur.
 
== Tanım ==
Eğer [[boşkümeBoşküme]]den farklı ve üzerinde bir tane [[ikili işlem]] tanımlanmış bir ''G'' [[küme]]si aşağıdaki özellikleri sağlar:
* [[Bileşme]]Kapalılık: Her ''a, b, c'' <math>\in</math> ''G'' için ''a(bc)=(ab)c ''''<math>\cdot</math> ''''b'''' ''<math>\in</math>'' ''G'' olmalıdır.''
* Asosyatiflik: Her ''a, b, c'' <math>\in</math> ''G'' için ''a''''<math>\cdot</math>''''(b''''<math>\cdot</math>''''c)=(a''''<math>\cdot</math>''''b)''''<math>\cdot</math>''''c''. Bu özelliği sağlayan gruba, "yarı grup" denir.
[[belit]]ini sağlıyorsa bir '''[[yarı öbek]]'''tir (yarıgrup). Eğer bir yarı öbek,
* (iki yönlü) [[Birim öğe]]: Her ''a'' <math>\in</math> ''G'' için öyle bir ''e'' <math>\in</math> ''G'' vardır ki ''ea=ae=a''.
belitini sağlıyorsa bu kümeye '''[[birlik]]''' (monoid) denir. Eğer bir birlik,
* [[Tersinir öğe]]: Her ''a'' <math>\in</math> ''G'' için öyle bir <math>a^{-1} \in</math> ''G'' vardır ki <math>a^{-1} a = a a^{-1}=e</math>.
belitini sağlıyorsa kümeye '''öbek''' (grup) adı verilir.
 
* [[Birim öğe]]: Her ''a'' <math>\in</math> ''G'' için öyle bir ''e'' <math>\in</math> ''G'' vardır ki ''e''''<math>\cdot</math>''''a=a''''<math>\cdot</math>''''e=a''. Burada ''e'' elemanına, "birim eleman" denir.
Eğer bir öbek,
 
* [[Değişme]]: Her ''a, b'' <math>\in</math> ''G'' için ''ab=ba''.
* (iki yönlü) [[BirimTersinir öğe]]: Her ''a'' <math>\in</math> ''G'' için öyle bir ''e'' <math>a^{-1} \in</math> ''G'' vardır ki ''ea=ae<math>a^{-1} a = a'' a^{-1}=e</math>.
belitini sağlıyorsa '''değişmeli öbek''' (değişmeli grup) ya da [[Abel]]'in anısına '''[[Abelyen öbek]]''' (abelyen grup) olarak adlandırılır. [[İşlem]]i vurgulamak için ''(G, <math>\cdot</math>)'' gösterimi kullanılır (ki burada "<math>\cdot</math>" işlemin simgesidir).
Eğer bir öbekgrup,
* [[Tersinir öğeDeğişme]]: Her ''a, b'' <math>\in</math> ''G'' için öyle bir ''a''''<math>a^{-1} \incdot</math> ''G'' vardır ki b=b''''<math>a^{-1} a = a a^{-1}=e\cdot</math>''''a''.
belitiniözelliğini sağlıyorsa bu gruba '''değişmeli öbekgrup ''' (değişmeli grupöbek) ya da [[Abel]]'in anısına '''[[Abelyen öbek|Abelyen grup]]''' (abelyen grupöbek) olarak adlandırılırdenir. [[İşlem]]iBir vurgulamakgrup için ''(G, <math>\cdot</math>)'' gösterimi kullanılır (ki burada "''<math>\cdot</math>''" burada işlemin simgesidir).
 
[[Öbek kuramı|Grup kuramı]] (grupöbek kuramı), demin tanımladığımız [[öbek|grup]] (grupöbek) yapısıyla ilgilenir. ÖdeğiGrubu tanımlarken yaptığımız tanımlar ise çoğunlukla bazı kesin teoremleri en genel halleriyle ifade etmek için kullanılır.
 
Bir öbeğingrubun [[mertebe]]si ''|G|'' ile gösterilen [[kardinal sayı]]dır (yani kümenin [[öğe]] sayısıdır). ''|G|'' [[sonlu]]ysa (ya da [[sonsuz]]sa), ''G'' ye [[sonlu öbek|sonlu grup]] (ya da [[sonsuz öbek|sonsuz ]]<nowiki/>grup) denir.
 
== Bazı Öbek ÖrnekleriGrupÖrnekleri ==
* Toplama işlemiyle [[tam sayı]]lar kümesi <math>(Z,+)</math>, değişmeli bir öbektirgruptur.
* Çarpma işlemiyle tam sayılar kümesi abelyen bir gruptur.
* Çarpma
 
== Kaynaklar ==
Anonim kullanıcı