Vikipedi

Taylor serisi: Revizyonlar arasındaki fark

Etkileşimli olarak geçmişe göz at
[kontrol edilmemiş revizyon][kontrol edilmiş revizyon]
← Önceki sürümle aradaki farkSonraki sürümle aradaki fark →
İçerik silindi İçerik eklendi
GörselVikimetin
Nanahuatl (mesaj | katkılar)
Devriyeler
538.439 değişiklik
Gerekçe: + ansiklopedik olmayan bilgi eklentisi + deneme amaçlı değişiklik
28. satır:
 
:<math>f(0)+f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+ \cdots </math>
 
== Örnekler ==
 
Her dereceden türevli, gerçel ya da karmaşık bir <math>f(x)</math> fonksiyonunun a gerçel ya da karmaşık bir sayı olmak üzere <math>(a-r,a+r)</math> aralığındaki ''Taylor serisi'' şu şekilde tanımlanmıştır:
 
<math>
f(x)=f(a)+ \frac{f'(a)}{1!} (x-a)
+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2
+ \ldots
+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n
+ \ldots
</math>
 
Daha düzenli bir gösterim olan ''Sigma gösterimi''yle ise şu şekilde yazılır:
 
: <math>= \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n</math>
 
Burada <math> n! </math>, ''n'' faktöriyeli; ''ƒ'''' ''<sup>(''n'')</sup>(''a'') ise ''f'' fonksiyonunun ''n''. dereceden türevinin ''a'' noktasındaki değerini belirtmektedir. ''f'' fonksiyonunun sıfırıncı dereceden türevi ''<nowiki>f'</nowiki>'' in kendisiyle tanımlanmıştır ve {{nowrap|(''x'' − ''a'')<sup>0</sup>}} ve 0!, 1'e eşit olarak kabul edilmiştir.
 
=== Maclaurin serisi ===
 
''a''=0 özel durumunda seri, ''Maclaurin serisi'' olarak adlandırılır:
 
: <math>f(0)+f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+ \cdots </math>
 
== Örnekler ==
Satır 59 ⟶ 35:
''x<sup>-1</sup>'' için Maclaurin serisi,
 
: <math>1+x+x^2+x^3+\cdots\!</math> geometrik serisidir.
 
''x<sup>-1</sup>'' fonksiyonunun ''a''=1 değerindeki Taylor serisi de,
 
: <math>1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+\cdots\!</math> dir.
 
Yukarıdaki Maclaurin serisinin integralini alarak {{nowrap|−''ln''(1 − ''x'')}} fonksiyonunun Maclaurin serisini buluruz: (burada ''ln'' doğal logaritmayı ifade eder)
 
: <math>x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}3+\frac{x^4}4+\cdots\!</math>
 
Ve bu seriye ilişkin ln(''x'') fonksiyonunun ''a''=1 değerindeki Taylor serisi ise,
 
: <math>(x-1)-\frac{(x-1)^2}2+\frac{(x-1)^3}3-\frac{(x-1)^4}4+\cdots.\!</math> dir.
 
''a'' &nbsp;= 0 noktasında ''e''<sup>''x''</sup></sup> üstel fonksiyonu için Taylor serisi:),
 
: <math>1 + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+ \cdots \quad = \quad 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \cdots.\!</math> dir.
 
e<sup>''x''</sup>'in x'e göre türevi yine e<sup>''x''</sup> 'e ve e<sup>''0''</sup> de 1'e eşit olduğundan yukarıdaki açılım sadeleşir. Bu sadeleşme sonucunda da sonsuz toplamdaki her terimin ''pay''ında {{nowrap|(''x'' − 0)<sup>''n''</sup>}} terimi, ''payda''sındaysa ''n''<nowiki>!</nowiki> terimi kalır.
Satır 81 ⟶ 57:
== Yakınsaklık ==
 
[[Dosya:Taylorsine.svg|200px|thumb|right|Pembeyle çizilmiş, orijin merkezli sinüs fonksiyonunun yedinci dereceden Taylor çokterimlisininin bir periyodunun çizimi, maviyle çizilmiş sinüs fonksiyonuna gittikçe yaklaşır.]]▼
[[Dosya:Taylorsine.svg|right|thumb|200x200px|
▲Pembeyle çizilmiş, orijin merkezli sinüs fonksiyonunun yedinci dereceden Taylor çokterimlisininin bir periyodunun çizimi, maviyle çizilmiş sinüs fonksiyonuna gittikçe yaklaşır.
]]
 
[[Dosya:LogTay.svg|200px|thumb|right|log(''1+x'') için Taylor çokterimlisi sadece {{nowrap|−1 < ''x'' ≤ 1}} aralığında hassas ve doğru bir şekilde yaklaşır. {{nowrap|''x'' > 1}} için daha yüksek dereceden Taylor çokterimlilerinin ''daha kötü'' yaklaşıklıklar vereceğini unutmayınız.]]▼
[[Dosya:LogTay.svg|right|thumb|200x200px|
▲log(''1+x'') için Taylor çokterimlisi sadece {{nowrap|−1 < ''x'' ≤ 1}} aralığında hassas ve doğru bir şekilde yaklaşır. {{nowrap|''x'' > 1}} için daha yüksek dereceden Taylor çokterimlilerinin ''daha kötü'' yaklaşıklıklar vereceğini unutmayınız.
]]
 
Her fonksiyonun Taylor serisi yakınsak olmak zorunda değildir. Yakınsak Taylor serili fonksiyonlar kümesi, bir düz fonksiyonların ''Frechet uzayı''nda bir ''eksik küme''dir. Bu fonksiyonların dışında, genelde sözü geçen çoğu fonksiyonun Taylor serisi yakınsamaz.
 
Bir ''f'' fonksiyonunun yakınsak Taylor serisinin limiti genelde ''<nowiki>f(x)'</nowiki>''in fonksiyon değerine eşit olmak zorunda olmamasına rağmen pratikte eşittir. Örneğin;
 
: <math>
f(x) = \begin{cases}
e^{-1/x^2}&\mathrm{if}\ x\not=0\\
Satır 100 ⟶ 72:
</math>
 
fonksiyonu ''<nowiki>x=0'</nowiki>''da sonsuz türevlidir ve bu noktadaki tüm türevleri sıfırdır.
 
== Analitik fonksiyonlar ==
 
[[Dosya:Expinvsq.svg|right |frame|right|e <sup>−1/''x''²</sup>'nin grafiği.]]
 
e <sup>−1/''x''²</sup>'nin grafiği.
Eğer seri belirtilen aralıktaki her <math>x</math> noktasında <math>f(x)</math>'e yakınsıyorsa f(x) [[analitik fonksiyon|analitik]] bir fonksiyon olarak adlandırılır. Her sonsuz türevlenebilir fonksiyon analitik değildir. Örneğin, ''f''(''x'') =e <sup>−1/''x''²</sup>, ''x ≠ 0'' ve <math>f(0)=0</math> fonksiyonunun Taylor serisi sıfıra denktir ancak fonksiyonun kendisi sıfırdan farklıdır.  ▼
]]
 
▲Eğer seri belirtilen aralıktaki her <math>x</math> noktasında <math>f(x)</math>'e yakınsıyorsa f(x) [[analitik fonksiyon|analitik]] bir fonksiyon olarak adlandırılır. Her sonsuz türevlenebilir fonksiyon analitik değildir. Örneğin, ''f''(''x'') =e <sup>−1/''x''²</sup>, ''x ≠ 0'' ve <math>f(0)=0</math> fonksiyonunun Taylor serisi sıfıra denktir ancak fonksiyonun kendisi sıfırdan farklıdır. 
== Kullanım Alanları ==
 
"https://tr.wikipedia.org/wiki/Taylor_serisi" sayfasından alınmıştır