|
== Matematiksel çözümleme ==
Doppler etkisi konusunda bilinmesi gereken en önemli husus, her ne kadar gözlemci dalga frekansının kendi hareketi ya da dalga kaynağının hareketi yüzünden değiştiğini görse de, aslında frekansın[[frekans]]ın sabit kaldığı gerçeğidir. Tam olarak ne olduğunu daha iyi anlamak icin şöyle bir örnek üzerinde düşünelim: Siz yerinizde ve hareketsizsiniz. Bir arkadaşınız sizden 10 metre uzakta duruyor ve size her saniyede bir elindeki tenis toplarından birini fırlatıyor. Burada arkadaşınızın topları her seferinde aynı doğru boyunca ve aynı hızda attığını varsayalım. Eğer arkadaşınız da hareketsiz ise her saniyede bir 10 metre yol kateden tenis toplarından biri size ulaşacaktır. Şimdi arkadaşınızın yine her saniyede bir top fırlattığını (''yani aslında top fırlatma frekansı değişmiyor''), ancak bu sefer size doğru yürümeye başladığını öngörelim. Bu durumda size ulaşan iki top arasındaki süre 1 saniyeden daha kısa olacaktır, çünkü toplar her seferinde 10 metre, 9 metre, 8 metre şeklinde daha az mesafe katettikten sonra size ulaşacaktır. Elbette aynı etkinin zıddı arkadaşınız sizden uzaklaşırken de geçerli olacaktır. Bir başka deyişle, toplar arkadaşınızın elinden her zaman saniyede bir çıktığı halde, sizin ya da arkadaşınızın hareketi yüzünden size azalan ya da artan zamanlarda ulaşacaktır. Bu da doğal olarak arkadaşınızın size topu farklı zamanlarda fırlattığını düşünmenize sebep olur. Yani aslında Doppler Etkisi'nde "etkilenen" asıl fiziksel değişken dalga boyu'dur. Elbette dalga boyu ile frekans ters orantılı olduğundan gözlemciye göre dalga kaynağının frekansı da değişiyor gibi görünür.
Eğer (''f''<sub>0</sub>) frekansında dalga yayan hareketli bir kaynak bu yayılımı sadece kendinin ve bir gözlemcinin bulunduğu sabit bir dalga ortamında yapıyorsa, o zaman bu dalga ortamına göre hareketsiz olan bir gözlemcinin göreceği frekansı (''f'') bulmak için:
:<math>f = f_0 \left ( \frac {v}{v + v_{s,r}} \right )</math>
formülü kullanılır. Burada (''v'') dalga ortamındaki dalgaların hızı, (''v''<sub>s, r</sub>) ise kaynağın sabit olan dalga ortamına göre (''eğer gözlemciye doğru hareket ediyorsa (-) eksi bir değer, gözlemciden uzaklaşacak şekilde hareket ediyorsa (+) arti bir değer'') hızıdır[[hız]]ıdır. Benzer bir analiz sabit bir dalga kaynağı ile hareketli bir gözlemci için asağıdaki gibidir. ''(''v''<sub>o</sub>) = Gözlemcinin dalga ortamına göre hızı.''
:<math>f = f_0 \left (1 - \frac {v_0}{v} \right )</math>
Yukarıdaki örnekte de gördüğümüze benzer şekilde, bu sefer gözlemcinin dalga kaynağından uzaklaşması durumunda (''v''<sub>o</sub>) değeri (+) arti, yakinlaşması durumunda ise (-) eksi olur.
Matematiksel olarak bu iki formül elbette tek bir vektörel[[vektör]]el eşitlik olarak genelleştirilebilir. [[Koordinat sistemininsistemi]]nin dalga ortamı üzerindeki herhangi bir noktanın konumunu verdiğini, ve bu ortamda [[ses hızı]]'nin (<math>c</math>) olduğunu varsayalım ve söz konusu ortamda (<math>s</math>) kaynağının (<math>\mathbf{v}_s</math>) hızıyla hareket edip çevresine (<math>f_s</math>) frekansında dalgalar yaydığını öngörelim. Bu dalga ortamında bir de (<math>\mathbf{v}_r</math>) hızıyla hareket eden bir (<math>r</math>) gözlemcisi olsun. Dalga kaynağı (<math>s</math>) ile gözlemci (<math>r</math>) arasındaki matematik vektörün ise (<math>\mathbf{n}</math>) olduğunu öngörelim. (Yani <math>\mathbf{r}_r - \mathbf{r}_s = \mathbf{n} |\mathbf{r}_r - \mathbf{r}_s|</math>)
Bu durumda gözlemcinin algılayacağı frekans (<math>f_r</math>):
| 