|
Not: Bu sayfada adım adım matematik temellerden bahsedilmemektedir, fakat titreşim analizindeki önemli eşitlikler ve konseptlerden bahsedilecektir. Daha detaylı matematik için sayfanın sonundaki referanslara bakınız. <!-- (İngilizce sayfadan direkt çevirdiğim için kaynaklar İngilizcedir.)-->
=== Sönümsüz serbest titreşim ===
[[Dosya:Mass spring.svg|200px|right|Simple Mass Spring Model]]
Kütle-yay-sönüm modelini incelemek için sönümün göz ardı edilebilir olduğunu ve kütleye hiçbir dış kuvvetin etkimediğini varsayıyoruz. (örnek: serbest tireşim)
Yay tarafından kütleye uygulanan kuvvet yayın uzaması “x” ile orantılıdır (Yayın kütlenin ağırlığı dolayısıyla sıkıştırıldığını varsayıyoruz). Orantı sabiti, k, yayın direngenliğidir ve birimi kuvvet/uzama cinsindendir.(Örneğin: lbf/in veya N/m)
:<math>
F_s=- k x \!
</math>
Kütle tarafından üretilen kuvvet ise [[Newton yasaları#Newton.27un ikinci kanunu|Newton’un ikinci hareket kanununda]] verilen kütlenin ivmesiyle orantılıdır:
:<math>
\Sigma\ F = ma = m \ddot{x} = m \frac{d^2x}{dt^2}
</math>
Kütle üzerindeki kuvvetleri toplayıp aşağıdaki adi diferansiyel denkleme ulaşırız:
:<math>m \ddot{x} + k x = 0.</math>
Eğer sistemi, yayı “A” çekerek titreşime başlattığımızı ve sonra serbest bıraktığımızı varsayarsak, kütlenin hareketini tanımlayan yukarıdaki denklemin çözümü şöyle olur:
:<math>
x(t) = A \cos (2 \pi f_n t) \!
</math>
Bu çözüm şu anlamdadır: kütle “A” genliğinde ve <math>f_n</math> frekansında salınmaktadır, burada <math>f_n</math> titreşim analizindeki en önemli değerlerden biridir ve sönümsüz “doğal frekans” olarak adlandırılır.
<math>f_n</math> basit kütle-yay sistemi için aşağıdaki gibi tanımlanır:
:<math>
f_n = {1\over {2 \pi}} \sqrt{k \over m} \!
</math>
Not: Açısal frekans <math>\omega</math> (<math>\omega=2 \pi f</math>) (birimi rad/sn) sıklıkla denklemlerde kullanılır çünkü denklemleri kolaylaştırır, fakat sistemin frekansından bahsederken standart frekansa(birimi Hz veya devir/sn) dönüştürülür.
Eğer sistemin kütlesini ve yay sabitini biliyorsanız, sisteme bir ilk hareket verildiğinde hangi frekansta titreyeceğini yukarıdaki formülü kullanarak bulabilirsiniz. Titreyen her sistem, tahrik edildiğinde titreşeceği bir veya daha fazla doğal frekansa sahiptir. Genel olarak bu basit ilişki daha kompleks bir sisteme bir kütle veya direngenlik eklediğimizde ne olduğunu açıklar. Örneğin, yukarıdaki formül bir arabanın veya bir kamyonun tamamıyla yüklü olduğunda neden daha yumuşak hissettirdiğini açıklar; çünkü kütle artmıştır ve bu yüzden sistemin doğal frekansı düşmüştür.
==== Sistemin kuvvet etkisi altında olmadan titremesinin sebebi nedir? ====
Bu formüller sistemin son hareketini tanımlamakla beraber sistemin neden salındığını açıklamazlar. Bu salınım(osilasyon) enerjinin korunumundan kaynaklanmaktadır. Yukarıdaki örnekteki yayı “A” kadar uzattık ve böylece yayda bir potansiyel enerji (<math>\tfrac {1}{2} k x^2</math>) depoladık. Serbest bıraktığımızda ise yay uzatılmamış durumuna dönmek ister ve bu yüzden kütleyi ivmelendirir. Yayın uzatılmamış ilk haline döndüğü nokta artık depolanmış enerjiye sahip değildir fakat kütle maksimum hızına ulaşmıştır ve bu yüzden tüm enerji kinetik enerjiye dönmüştür (<math>\tfrac {1}{2} m v^2</math>). Ardından kütle ivmesini kaybetmeye başlar çünkü şimdi yayı sıkıştırıyor ve kinetik enerjisini potansiyel enerjiye dönüştürüyordur. Kütledeki kinetik enerjinin yaydaki potansiyel enerjiye ve yaydaki potansiyel enerjinin kütledeki kinetik enerjiye dönüşümü salınıma sebep olmaktadır.
Basit modelimize göre kütle sonsuza kadar aynı genlikte salınacaktır, gerçek sistemde daima '''sönüm''' denen enerjiyi harcayan ve en sonunda sistemin durmasına neden olan etkiler vardır.
=== Sönümlü serbest titreşim ===
| 