|
[[Matematik]]te, [[fonksiyon]] veya fonksiyonların, bir veya birden çok değişkene göre [[türev]]lerini ilişkilendiren [[denklem]]lerdir.
Bir ya da daha fazla [[değişken]] arasındaki ilişki, bu değişkenlerin değişim oranlarının bir fonksiyonu olarak düşünülebilir. Değişim oranları, zaman bağımsız değişken olmak üzere sürekli veya kesikli olarak ifade edilebilir. Değişkenlerin zamana bağlı olduğu düşünülürse; değişkenler, onların değişim oranları ve fonksiyonları ifade eden denklemler elde edilir. Bu denklemlere türevsel denklemler denir. Diğer bir adı da ''diferansiyel denklem'' olarak geçer.
[[Fizik]], [[kimya]], [[mühendislik]], [[biyoloji]] ve [[ekonomi]] alanlarında [[matematiksel model]]ler genellikle diferansiyel denklemler kullanılarak ifade edilirler.
Diferansiyel denklemler temel olarak iki kola ayrılırlar:
Diferansiyeli belki de doğrudan "değişim" olarak çevirmek gerekir. Eğer bir fonksiyon (ya da bir olay) bir değişkene göre değişim göstermiyorsa türev sıfırdır.
# [[Normal diferansiyel denklemler]] (veya [[adi diferansiyel denklemler]])
# [[Kısmi diferansiyel denklemler]] .
Diferansiyel denklemler bilinmeyenlerin birbirleri ve katsayılarla ilgili konumlarına göre:
Diyelim kendi boyunuzun yıllar içerisindeki değerlerini grafiklediniz. Bu durumda ömrünüzün ilk yıllarında bir yukseliş olurken bir dönemden sonra değişim olmayacak sonunda da ters yönde bir değişim (nisbi kısalma) olacaktır. Bu eğrinin [[türev]]i bize boyumunuz zamana bağlı '''değişimlerini''' verecektir. İkinci türeve baktığınızda ise değişimlerin değişimini görürsünüz. Yani eğer sabit bir hızda boyunuz artıyorsa bu durumda değişim (1. türev) bir değer üretirken, değişimlerin değişimi (2. türev) sıfır olacaktır.
[[Doğrusal diferansiyel denklemler]] , [[Doğrusal olmayan diferansiyel denklemler]] olarak da gruplanmaktadır. Doğrusal denklemlerin teorisi gelişmiş olmasına rağmen doğrusal olmayan denklemlerin keyfiyet analizi zordur ve bazen mümkün değildir. Bu durumlarda [[sayısal analiz]] teknikleri uygulanır.
[[Kısmi diferansiyel denklemler]], [[katsayı]]ların durumlarına ve zamana ait [[türev]]in mevcudiyetine göre
Doğal olayları da modellerken olayı yaratan fonksiyonu bulabilmek için yaptığımız gözlemlerin değişimler olduğu fikrinden hareket ediyoruz. Hızdaki değişimin ivme olması gibi. Bir tel üzerinde uzamanın en küçük (limit anlamında) parçasının değişimin saptayıp oradan bir keman teli üzerinde oluşan titreşimlerin denklemine erişmeye çalışıyoruz (ve başarabiliyoruz da).
# [[Eliptik diferansiyel denklemler]]
# [[Parabolik diferansiyel denklemler]]
# [[Hiperbolik diferansiyel denklemler]] şeklinde alt gruplara ayrılırlar.
Son iki tip denklem, zamana ait [[türev]]in mevcudiyetinden ötürü [[evrimsel]] olarak isimlendirilir.
Modern uygulamaların zorlaması ile ortaya çıkan:
Diferansiyel denklemler konusunda yapılan ilk çalışmalar, 17. yüzyılın ikinci yarısında, diferansiyel ve integral hesabın keşfinden (ortaya çıkmasından) hemen sonra, İngiliz matematikçi Newton (1642-1727) ve Alman matematikçi Leibniz (1641-1716) ile başlar.
# [[Stokastik diferansiyel denklemler]]
# [[Gecikmeli diferansiyel denklemler]]
tiplerindeki denklemler yukardakilerden farklı olarak değerlendirilebilirler.
Sabit domain'lerde denklemler verilere göre:
Daha sonraları, matematik tarihinde büyük isim yapmış olan, İsviçreli matematikçilerden Bernouilli kardeşlerin, 18. yüzyılda da, Euler, Clairaut, Lagrance, D'Alembert. Charbit, Monge, Laplace ile 19. yüzyılda da, Chrystal, Cauchy, Jacobi, Ampere, Darboux, Picard , Fusch ve F.G. Frobenius, diferansiyel denklemler teorisini, bugünkü ileri seviyeye getiren matematikçilerdir.
# [[Başlangıç değer]]
# [[Sınır değer]]
şeklinde sınıflandırılırlar. Sabit olmayan bir domain'de tanımlı denklemlere [[Serbest sınır değer problemleri]] veya [[Hareketli sınır değer problemleri]] denir.
Birçok denklemden oluşan ilişkilere denklem sistemi adı verilir.
Belli tip diferansiyel denklemlerin, belli şartlar altında bir çözümlerinin mevcut olmasının ispatı, diferansiyel denklemler teorisinde varlık teoremi konusunu teşkil etmekte olup, bu da, ilk olarak 1820 ile 1830 yılları arasında, Fransız matematikçi A.L. Cauchy tarafından tesis edilmiş ve daha sonra gelenler tarafından geliştirilmiştir.
[[Kategori:Diferansiyel denklemler| ]]
Newton ve Diferansiyel Denklem
İngiliz matematikçi Newton (1642-1727), diferansiyel denklemler üzerindeki çalışmalarına 1665 yılında başlamıştır. 1671 yılında yayınladığı bir makale ile, diferansiyel denklemleri 3 ayrı sınıfta göstermiştir. Bunlar:
[[af:Differensiaalvergelyking]]
Birinci Sınıf Diferansiyel Denklemler: Bu sınıfa ayırdıkları, dy/dx tipinde olanlardır. Burada y, x'in bir fonksiyonudur veya bunun tersi de söz konusudur.
[[an:Equación diferencial]]
[[ar:معادلات تفاضلية]]
İkinci Sınıf Diferansiyel Denklemler: Bu sınıfa ayırdıkları, (dy/dx) = f(x,y) tipinde olanlardır.
[[be:Дыферэнцыяльнае ўраўненне]]
[[be-x-old:Дыфэрэнцыйнае раўнаньне]]
Üçüncü Sınıf Diferansiyel Denklemler: Bu sınıftaki diferansiyel denklemler ise, kısmi diferansiyel tipinde olanlardır.
[[bg:Диференциално уравнение]]
[[bn:অন্তরক সমীকরণ]]
Leibniz ve Diferansiyel Denklem
[[bs:Diferencijalna jednačina]]
Alman filozof ve matematikçi Leibniz (1646-1716), diferansiyel denklemler üzerine çalışmalarına 1673 yılında başlamıştır. Bu konudaki çalışmalarını, 1684 ile 1686 yılları arasında yazdığı Aklaerudilorum adında bir eseri ile ortaya koymuştur.
[[ca:Equació diferencial]]
[[cs:Diferenciální rovnice]]
Leibniz'in bu eseri, yayınlandığı yıllarda Almanya'da gereken ilgiyi görmemiştir. Fakat, İsviçre'de, Jaques ve Jean Bernouilli kardeşler tarafından, ilgiyle incelenmiştir. 1690 yılında, Jaques Bernouilli bu konuda önemli bir eser yayınlanmıştır. Yine aynı yıllarda; Leibniz ve Bernouilli kardeşler tarafından, diferansiyel üzerinde önemli araştırmalar yapmışlardır. Yeni çözüm yolları geliştirmişlerdir. Leibniz 1691 yılında; f (x,y) = f (x.g (y)) şeklinde olan diferansiyel denklemin çözümünü yapmıştır.
[[da:Differentialligning]]
[[de:Differentialgleichung]]
Euler ve Diferansiyel Denklem
[[el:Διαφορική εξίσωση]]
Alman matematikçi Leonard Euler (1707-1783), 1728 yılında, diferansiyel denklemler üzerinde geniş çalışmalar yapmıştır. Diferansiyel denklemlerin derecesini düşürme yöntemlerini geliştirmiştir. Seri çözümleri:
[[en:Differential equation]]
[[eo:Diferenciala ekvacio]]
(1-x4)-1/2dx + (1-y4)1/2dy = 0
[[es:Ecuación diferencial]]
[[et:Diferentsiaalvõrrand]]
şeklinde olan Abel'in teoreminin cebirsel çözümünü bulmuştur. Bu çözüm, eliptik fonksiyonlarda önemli rol oynamıştır.
[[fa:معادله دیفرانسیل]]
[[fi:Differentiaaliyhtälö]]
Euler'in Denklemi
[[fr:Équation différentielle]]
ai ler sabit olmak üzere, denklemin genel şekli:
[[gan:微分方程]]
[[gl:Ecuación diferencial]]
a0xnyn + a1xn-1yn-1 + ... + an-1 xy + an = q(x)
[[he:משוואה דיפרנציאלית]]
[[hi:अवकल समीकरण]]
olan bu denklem, y'ye ve türevlerine göre lineerdir, fakat katsayılar değişkendir.
[[hif:Differential equation]]
[[hr:Diferencijalne jednadžbe]]
[[hu:Differenciálegyenlet]]
[[id:Persamaan diferensial]]
{{matematik-taslak}}
[[it:Equazione differenziale]]
[[ja:微分方程式]]
[[Kategori:Diferansiyel denklemler]]
[[ka:დიფერენციალური განტოლებები]]
[[km:សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល]]
[[ko:미분 방정식]]
[[ku:Wekheviya dîferensiyel]]
[[la:Aequatio differentialis]]
[[lt:Diferencialinė lygtis]]
[[lv:Diferenciālvienādojums]]
[[ml:അവകലസമവാക്യം]]
[[ms:Persamaan pembezaan]]
[[mt:Ekwazzjoni differenzjali]]
[[nap:Equazione differenziale]]
[[nl:Differentiaalvergelijking]]
[[nn:Differensiallikning]]
[[no:Differensialligning]]
[[oc:Equacion diferenciala]]
[[pl:Równanie różniczkowe]]
[[pms:Equassion diferensial]]
[[pnb:ڈفرینشیل مساوات]]
[[pt:Equação diferencial]]
[[ro:Ecuație diferențială]]
[[ru:Дифференциальное уравнение]]
[[sh:Diferencijalna jednačina]]
[[si:අවකල සමීකරණය]]
[[simple:Differential equation]]
[[sk:Diferenciálna rovnica]]
[[sl:Diferencialna enačba]]
[[sr:Диференцијална једначина]]
[[sv:Differentialekvation]]
[[ta:வகையீட்டுச் சமன்பாடு]]
[[th:สมการเชิงอนุพันธ์]]
[[uk:Диференціальні рівняння]]
[[vi:Phương trình vi phân]]
[[war:Ekwasyon diferensyal]]
[[zh:微分方程]]
| 