Mandelbrot kümesi: Revizyonlar arasındaki fark
| [kontrol edilmemiş revizyon] | [kontrol edilmemiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
k r2.7.2) (Bot: Ekleniyor: sk:Mandelbrotova množina |
Niyazi2012 (mesaj | katkılar) Yeniden düzgünce yazıldı |
||
1. satır:
'''Mandelbrot kümesi'''<ref>http://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set</ref>, [[Benoit Mandelbrot]]'un ikinci derece kompleks değişkenli polinomların dinamiklerini açıklamak için geliştirdiği ve incelediği kümedir. Mandelbrot kümesi, karmaşık düzlemin bir [[fraktal]] altkümesidir.
[[Dosya:Mandelbrot_Set_-_Periodicites.png|thumb|300px|right|Mandelbrot Kümesi ve Ana Bölgeleri]]
== Tanım ==
Yazı boyunca <math>f_c:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}</math> ile <math>f(z)=z^2+c</math> polinomunu göstereceğiz. <math>z=0</math> sayısının <math>f_c</math> altındaki değeri <math>f_c(0)=c</math> dir. Benzer şekilde <math>z=c</math> sayısının <math>f_c</math> altındaki değeri <math>f_c(c)=c^2+c</math> dir. <math>f_c</math> fonksiyonunun bir önceki aşamada elde edilen sayıya, yani <math>c^2+c</math> ye uygulanması yeni bir sayı, yani <math>(c^2+c)^2+(c^2+c)</math> yi, üretecektir. Bu işlemi yapmaya devam edersek,
:<math>(0,f_c(0),f_c(f_c(0)),\ldots)</math>
karmaşık sayı dizisini elde ederiz. Bu dizinin limit değerinin sonlu bir sayı olup olmaması <math>c</math> değerine bağlıdır. Mesela, <math>c</math> nin değeri 2 den büyükse bu dizi sonsuza ıraksar. Bunun nedeni <math>f_c</math> tipindeki ikinci derece polinomların yinelemeli uygulamalarının yarıçapı 2 den büyük her karmaşık çemberi sonsuza götürmesindendir.
Dizinin, sonlu bir sayıya yakınsadığı <math>c</math> değerlerinin kümesine Mandelbrot Kümesi denir. Başka bir ifadeyle, Mandelbrot kümesi öyle bir kümedir ki <math>c</math> sayısı bu kümeden seçildiğinde yukarıdaki dizi sonlu bir sayıya yakınsar.
== Temel Özellikler ==
* Mandelbrot kümesi tıkızdır. Yarıçapı 2 olan dairenin kapalı altkümesidir.
* Mandelbrot kümesinin gerçel sayı kümesi ile kesişimi [-2,0.25] dir.
* Mandelbrot kümesinin alanı yaklaşık olarak 1.50659177 ± 0.00000008.
* Mandelbrot kümesinin [[lokal bağlantılı]] olup olmadığı bilinmemektedir.
* Mandelbrot kümesinin topolojik sınırının Hausdorff boyutu 2 dir. Lebesgue ölçümü bilinmemektedir.
* Mandelbrot kümesi, ikinci derece polinomlarının dinamikleri için bir [[parametre uzayı]]dır. Başka bir ifadeyle, keyfi seçilmiş ikinci derece her <math>p</math> polinomu için, Mandelbrot kümesinde öyle bir <math>c</math> sayısı bulmak mümkündür ki, <math>f_c</math> ile <math>p</math> nin asimptotik dinamikleri topolojik olarak aynıdır.
* Mandelbrot kümesi bir fraktaldır fakat tamamen [[kendine benzer]] değildir. [[Misiurewicz nokta]]larında lokal olarak [[kendine benzer]]dir. Misiurewicz noktaları her zaman Mandelbrot kümesinin topolojik sınırında yer alır ve bu topolojik sınırın yoğun altkümesidir. <math>c</math> değeri bir Misiurewicz noktası olarak seçilirse, <math>f_c</math> nin [[Julia kümesi]]nin topolojik olarak içi boş olur ve bu Julia kümesi lokal olarak Mandelbrot kümesine benzerdir.
{|
|-
| [[Dosya:Mandelbrot_zoom.gif|thumb|300px|Mandelbrot kümesinin bazı kısımları kendine benzer]]
| [[Dosya:Mandel_zoom_03_seehorse.jpg|thumb|300px|Mandelbrot kümesinin bazı kısımları kendine benzemez]]
|}
* Mandelbrot kümesinin kalp şeklindeki her kısmı, o kısım için tanımlanabilecek <math>f_c</math> lerin dinamiklerinin birbirlerine benzer olduklarını gösterir.
* Gerçel [[Lojistik fonksiyon]]ların parametre uzayları ile Mandelbrot kümesinin gerçel ekseni kestiği noktalar arasında birebir bir ilişki vardır.
{|
|-
| [[Dosya:Verhulst-Mandelbrot-Bifurcation.jpg|thumb|300px|Lojistik Ailenin parametre uzayı ve Mandelbrot Kümesi]]
|}
== Kaynakça ==
<references />
| |||