|
[[Dosya:Dizey.png|thumb|350px|right|Bir matrisin dizilişidizey. "m" satırları, "n" sütunları temsil eder]]
[[Matematik]]te '''matrisdizey''' veya '''dizeymatris''', dikdörtgen bir [[sayı]]lar tablosu veya daha genel bir açıklamayla, toplanabilir veya çarpılabilir soyut miktarlar tablosudur. Dizeyler daha çok [[doğrusal denklem]]leri tanımlamak, [[doğrusal dönüşüm]]lerde (lineer transformasyon) çarpanların takibi ve iki [[parametre]]ye bağlı [[veri]]lerin kaydedilmesi amacıyla kullanılırlar. Dizeylerin toplanabilir, çıkartılabilir, çarpılabilir, bölünebilir ve ayrıştırılabilir olmaları, [[lineer cebir|doğrusal cebir]] ve [[dizey kuramı]]nın temel kavramı olmalarını sağlamıştır.
BİLGİLER:
'''MatrisDizey (dizeymatris)''' sayma sayılarını dikdörtgen halinde dizip gösteren bir matematik tablodur. Örneğin:
: <math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
16 & 0 & 5 \end{bmatrix}.</math>
Bir diğer notasyonagösterime göre dikdörtgen parantezler yerine eğri şekilli parantez kullanılır:
: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
6 & 0 & 5 \end{pmatrix}.</math>
Bir matrisdekidizeydeki düz yatay sıraya '''satır''' dikey sıraya '''sütun''' adı verilir. Bir matrisdizey içinde dizilip gösterilen sayal sayılar ''öğe'öge''' veya '''eleman''' olarak adlandırılır. MatrisinDizeyin büyüklüğü satır sayısı ile sutunsütun sayısı birlikte verilmesi ile ifade edilir. Örnek olan verilen matrislerdizeyler 4x3 (yani 4 satırlı 3 sütunlu) matrislerdirdizeylerdir. MatrisinDizeyin ''boyutu'' satır sayısı ve sütun sayısının ayrı ayrı verilmesi ile ifade edilir. Örnek matrislerindizeylerin boyutu ''4'' ve ''3'' olur.
Genel matematiksel notasyongösterim olarak bir matrisdizey bir ''büyük harf'' ile ifade edilir. BazanBazen matrislerindizeylerin daha açık olarak ifadesi notasyondagösterimde kullanılan büyük harf vurgulanması ile yapılır. Bu vurgu bilgisayar ile yazılırsa tipografik kalın harf vurgusu ile; elle yazısı ile matrisdizey harfinin altına bir (bazanbazen iki) çizgi veya küçük dalgalı bir cizgi koymakçizgi suretiylekoyularak yapılır. Daha acikaçık bir sekildeşekilde notasyongösterim matrisindizeyin parantez icindeiçinde küçük harfle ifade edilen genel elemanıögesi için i satır ve j sütun alt altgösterimli (indisli) ve parantez disindadışında matrisdizey buyuklugubüyüklüğü verilerek ifade edilir. Örneğin m satırlı n sütunlu mxn türünden bir A matrisidizeyi
# '''A''' veya
# <math>\underline{\underline{A}}</math> veya
# <math>\ A=[a_{ij}]_{mxn}</math>
şeklinde bir gösterilir.
olarak notasyonla ifade edilir.
Böylece genel olarak m ve n pozitif [[tamsayılar]], <math>i \in \{1,2,3,4, \cdots,m\}</math> ve <math>j \in \{1,2,3,4, \cdots,n\}</math> olmak üzere <math>a_{i,j}</math> sayma sayılarından oluşan yukarıdaki sayılar tablosu matrisbir (dizey) olur. m, matrisindizeyin satır sayısını; n ise matrisindizeyin sütun sayısını belirtir. m satır ve n sütundan oluşan matrisedizeye <math>mxn</math> türünden matrisdizey denir:
<math>
== Türleri ==
=== Kare matrisdizey ===
Satır sayısı sütun sayısına eşit olan matrislerdirdizeylerdir.
<br />
<math>
\end{bmatrix}
</math>
<br />A dizeyi 2x2 türünden bir kare matrisdirdizeydir.
==== Birim matrisdizey ====
Kare matrislerindizeylerin yaygın bir örneği ise, köşegenin üzerindeki öğelerininögelerinin ''1'' geri kalan yerlerdeki öğelerinögelerin ''0'' olduğu birim matristirdizeytir. Satır ve sütun sayısı ''n'' olan bir birim matrisidizeyi göstermek için (başka bir yerde kullanılmamışsa) genelde ''I<sub>''n''</sub>'' kullanılır. Mesela, 3x3'lük bir birim matrisdizey
<math>
şeklinde gösterilir.
=== Sıfır matrisdizey ===
Tüm elemanlarıögeleri sıfır olan matrisdirdizeydir.
<br />
<math>
\end{bmatrix}
</math>
<br />A dizeyi 2x3 türünden bir sıfır matrisdirdizeydir.
=== Satır ve sütun matrisdizey ===
Sadece bir satırdan oluşan matrislereoluşandizeylere satır, sadece bir sütundan oluşan matrisleredizeylere ise sütun matrisdizey denir.
<br />
<math>
</math>
Eğer bir matrisindizeyin boyutlarından biri 1 ise (yani ya satır sayısı 1 veya sütun sayısı 1 ise yani satır matrisidizeyi veya sütun matrisidizeyi ise) bu matrisdizey, bir '''yöney''' veya '''vektör''' veya ''Euclid-tipi vektöryöney'' olarak da tanımlanır.
== Cebirsel işlemler ==
Matematikte [[çarpma]] ile [[çarpım]] farklı kavramlardır. Çarpma bir [[ikili işlem]]dir üstelik [[kapalılık|kapalıd]]ır. Çarpım ise bir daha genel olarak bir [[gönderme]]dir. Aynı şekilde [[toplama]] ile [[toplam]] karıştırılmamalıdır.
=== MatrisDizey toplaması ===
MatrislerDizeyler bileşenleri karşılıklı olarak toplanırlar.
İki matrisindizeyin toplanabilmesi için satır ve sütün sayılarının eşit olması gerekir.
:<math>
=== Sayıyla (Skalerle) çarpma ===
Bir matrisdizey, bir sayıyla çarpılırsa her bileşeni o sayıyla çarpılır.
::<math>c_{ij}=k a_{ij}</math>
Örnek:
</math>
=== MatrisDizey çarpımı ===
MatrisDizey çarpımı ancak özel bir halde mümkündür ve genelde herhangi iki matrisdizey için matrisdizey çarpımı işlemi yapılamaz.
Çarpımı istenen iki matrisdizey için ilk defa ''ön-çarpan'' matrisdizey ile ''art-çarpan'' matrisdizey belirlenmesi gerekir.Çünkü çarpma işlemi sayılarda değişmelidir, fakat matrislerdedizeylerde değildir.Yani genel olarak '''A''' ve '''B''' matrisidizeyi için
:'''AB''' ≠ '''BA'''
'''AB''' matrisdizey çarpımı için A ön-çarpan ve B art-çarpan; '''BA''' matrisdizey çarpımı için B ön-çarpan ve A art-çarpan olur. İki matrisdizey çarpımı notasyonlagösterim ile belirtilmekle beraber ya '''AB''' ya '''BA''' ya da hem '''AB''' hem '''BA''' geçerli olmayabilir.
MatrisDizey çarpımı için yapılacak ilk işlem iki matrisindizeyin şu kurala uyup uymadığını kontrol etmektir:
<blockquote>'''MatrisDizey çarpımı ancak ön-çarpan sütun sayısı ile art-çarpan satır sayısı birbirine eşitlerse mümkündür.'''</blockquote>
Yani (pxj) boyutlu '''A''' matrisidizeyi ile (kxl) boyutlu '''B''' matrisinindizeyinin matrisdizey çarpımı '''AB''' ancak j=k ise mümkün olur; yoksa geçerli değildir. Bir ek kurala göre de
<blockquote>'''Eğer matrisdizey çarpımı geçerli ise, ortaya çıkartılacak çarpım matrisidizeyi ön-çarpan satır sayısı ve art-çarpan matrisdizey sütun sayısı boyutludur'''
</blockquote>Yani eğer j=k ise, matrisdizey çarpımı sonucu '''AB'''' matrisidizeyi (pxl) boyutludur.
Daha sayısal bir örnek olarak '''A''' matrisidizeyi (2x3) boyutlu ise ve '''B''' (3x4) boyutlu ise '''AB''' matrisdizey çarpımı 3=3 olduğu için geçerlidir ve matrisdizey çarpımı işlemi sonuç '''AB''' matrisidizeyi (2x4) boyutludur. Ama '''BA''' matrisdizey çarpımı işlemi geçerli değildir, çünkü 4≠2.
[[Dosya:Matrix multiplication diagram 2.svg|right|200px|thumb|'''A''' ve '''B''' matrislerinindizeylerinin matrisdizey çarpımı '''AB''' ifadesinin bir şema ile gösterimi.]]
MatrisDizey çarpımının [[algoritma]]sı ilk öğeninögenin i. satırı, ikinci öğeninögenin j. sütunuyla bileşenleri karşılıklı olarak çarpılıp toplanır ve sonuç dizeyin bileşeni olarak yazılır.
:''A'', ''mxn'' boyutlu ''B'' de ''nxs'' boyutlu dizeyler olmak üzere ''mxs'' boyutlu sonuç dizey
::<math>A_{m \times n}B_{n \times s} = C_{m \times s}</math>
:olarak tanımlanır ve her öğesiögesi
::<math>c_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}</math>
ile bulunur.
</math>
Çarpmayı, ilk öğeninögenin her satırını bir yöney ve ikinci öğeninögenin her sütununu bir yöney olarak düşünüp ilk öğeyiögeyi bir [[sütun yöney]] ve ikinci öğeyiögeyi bir [[satır yöney]] olarak yöney [[iç çarpım]]ına indirgeyebiliriz. Örneğin, <math>\vec{a}</math> ve <math>\vec{b}</math> yöneyleri n boyutlu olmak üzere,
:<math>A_{m \times n}=\begin{bmatrix} \vec{a_1} \\ \cdots \\ \vec{a_m} \end{bmatrix}</math> ve <math>B_{n \times s}=\begin{bmatrix} \vec{b_1} && \cdots && \vec{b_s} \end{bmatrix}</math>
şeklinde düşünüldüğünde çarpım,
=== Kronecker (Doğrudan) toplam ===
Bu toplamın sonucu bir matrislerdizeyler [[köşegen]]idir.
::<math>C=\oplus_{i=1}^{k} A_i=\text{kosegen}\left( A_1,A_2,...,A_k \right)=\left[ \begin{array}{cccc} A_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & A_k \\ \end{array} \right]</math>
:burada sonuç dizeyin boyutları, toplanan dizeylerin doğrudan boyutları toplamı kadardır.
=== Kronecker (Doğrudan) çarpım ===
Bu çarpım ilk öğeninögenin her bileşenini ikinci öğeyleögeyle doğrudan çarpmayla tanımlanır.
::<math>A_{m \times n} \otimes B_{r \times s} = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11}B & a_{12}B & \cdots & a_{1n}B \\ a_{21}B & a_{22}B & \cdots & a_{2n}B \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}B & a_{m2}B & \cdots & a_{mn}B \\ \end{array} \right]</math>
</math>
Bu denklemler sistemi matrisdizey kullanılarak çok basit bir şekle indirilebilir. MatrislerleDizeylerle sistem şöyle ifade edilir:
:<math>
~.
</math>
Daha kısa bir notasyonlagösterimle bu şöyle yazılabilir:
:<math>
\left[\mathsf{A}\right] \left[\mathsf{x}\right] = \left[\mathsf{b}\right] ~~~~\text{or}~~~~ \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b} ~.
</math>
Burada <math>\mathbf{A}</math> <math>4\times 4</math> boyutlu matrisdirdizeydir;
<math>\mathbf{x}</math>
ve
<math>\mathbf{b}</math> <math>4\times 1</math>
boyutlu sutunsütun matrislerdirdizeylerdir.
Genel olarak n sayıda değişkenli m sayıda doğrusal denklemden oluşan şu doğrusal denklemler sistemi:
:''A''<sub>''m'',1</sub>''x''<sub>1</sub> + ''A''<sub>''m'',2</sub>''x''<sub>2</sub> + ... + ''A''<sub>''m'',''n''</sub>''x''<sub>''n''</sub> = ''b''<sub>''m''</sub>
çok kolayca bir denklemler matrisidizeyi olarak ifade edilebilir. Bunun için '''x''' yöneyi ''n'' değişken ('x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) için bir n-sütun yöneyi (yani 'n''×1-matrisidizeyi); '''A''' matrisidizeyi ''m''x''n'' boyutlu katsayılar matrisidizeyi ve '''b''' n-sutunsütun yöneyi halindeki denklem sabitleri olursa, herhangi bir doğrusal denklem sistemi matrisdizey denklemi olarak şöyle ifade edilir:
:'''Ax''' = '''b'''.
== Matematiksel matrisdizey kavramının tarihsel kaynağı ==
Doğrusal denklemler sistemlerinin çözülmesi için matrisdizey kavramlarının kullanılmasının çok uzun bir tarihi bulunmaktadir. Doğrusal denklemler sistemlerin ilk matrisdizey kullanarak açıklanıp çözülmesi, özellikle kare matrislerledizeylerle ifade edilip determinant kullanımı dahil, MO.300 ile MS.200 arasında yazılmış olan ''Jiu Zhang Suan Shu'' (Matematik Sanatinda Dokuz Bolum) adli eserde bulundugu anlaşılmıştır. Bu eserden Batı Avrupa matematikçileri hiç haberdar olmamışlardır. Bundan sonra matrisdizey kavramı 2000 yıl kadar sonra 1683de "Seki Kowa" adlı Japon matematikçisi ve Batı Avrupa'da ilk defa 1693de Alman matematikçisi [[Leibniz]] tarafından ortaya atılmış ve ilk determinant kullanarak pratik çözüm olarak [[Cramer'in kuralı]] 1750'de [[Cramer|Gabriel Cramer]] tarafından gösterilmiştir.
MatrisDizey teorisininkuramının Batı Avrupa'da geliştirilmesi daha çok determinant kavramına önem vermekteydi. Determinantdan bağımsız olarak matrisdizey matematiğinin geliştirilmesi 1858de Arthur Cayley tarafından
''Memoir on the theory of matrices (MatrisDizey teorisikuramı hakkında bir not)'' adında eserle başlamıştır. '''MatrisDizey''' terimi isim olarak ilk defa [[J.J.Syvester]] adlı İngiliz matematikçisi tarafından kullanılmıştır. Bu matematikçi determinantları açıp sayısal değerlerini bulmak için sutunsütun ve satırları silip gittikçe daha küçük determinant (minor) elde ederek bu sonuca bulma üzerinde uğraşı göstermiş ve sanki bir ana determinantan gittikçe küçülen "çocuk" determinantların bulunmasından ilham alarak simdi ''matris'' olarak adlandırdığımız kavrama Latince kökten ''mater'' (anne) sözcüğünden çıkardığı ''matrix'' adını vermiştir.
== Dış kaynaklar ==
[[Kategori:Doğrusal cebir]]
[[Kategori:Matrisler| ]]
[[Kategori:Dizeyler]]
{{Link SM|pl}}
| 