|
[[Dosya:Dizey.png|thumb|350px|right|Bir dizeymatrisin dizilişi. "m" satırları, "n" sütunları temsil eder]]
[[Matematik]]te '''dizeymatris''' veya '''matrisdizey''', dikdörtgen bir [[sayı]]lar tablosu veya daha genel bir açıklamayla, toplanabilir veya çarpılabilir soyut miktarlar tablosudur. Dizeyler daha çok [[doğrusal denklem]]leri tanımlamak, [[doğrusal dönüşüm]]lerde (lineer transformasyon) çarpanların takibi ve iki [[parametre]]ye bağlı [[veri]]lerin kaydedilmesi amacıyla kullanılırlar. Dizeylerin toplanabilir, çıkartılabilir, çarpılabilir, bölünebilir ve ayrıştırılabilir olmaları, [[lineer cebir|doğrusal cebir]] ve [[dizey kuramı]]nın temel kavramı olmalarını sağlamıştır.
BİLGİLER:
'''DizeyMatris (matrisdizey)''' sayma sayılarını dikdörtgen halinde dizip gösteren bir matematik tablodur. Örneğin:
: <math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
16 & 0 & 5 \end{bmatrix}.</math>
Bir diğer gösterimenotasyona göre dikdörtgen parantezler yerine eğri şekilli parantez kullanılır:
: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
6 & 0 & 5 \end{pmatrix}.</math>
Bir dizeydekimatrisdeki düz yatay sıraya '''satır''' dikey sıraya '''sütun''' adı verilir. Bir dizeymatris içinde dizilip gösterilen sayal sayılar '''öge'öğe'' veya '''eleman''' olarak adlandırılır. DizeyinMatrisin büyüklüğü satır sayısı ile sütunsutun sayısı birlikte verilmesi ile ifade edilir. Örnek olan verilen dizeylermatrisler 4x3 (yani 4 satırlı 3 sütunlu) dizeylerdirmatrislerdir. DizeyinMatrisin ''boyutu'' satır sayısı ve sütun sayısının ayrı ayrı verilmesi ile ifade edilir. Örnek dizeylerinmatrislerin boyutu ''4'' ve ''3'' olur.
Genel matematiksel gösterimnotasyon olarak bir dizeymatris bir ''büyük harf'' ile ifade edilir. BazenBazan dizeylerinmatrislerin daha açık olarak ifadesi gösterimdenotasyonda kullanılan büyük harf vurgulanması ile yapılır. Bu vurgu bilgisayar ile yazılırsa tipografik kalın harf vurgusu ile; elle yazısı ile dizeymatris harfinin altına bir (bazenbazan iki) çizgi veya küçük dalgalı bir çizgicizgi koymak koyularaksuretiyle yapılır. Daha açıkacik bir şekildesekilde gösterimnotasyon dizeyinmatrisin parantez içindeicinde küçük harfle ifade edilen genel ögesielemanı için i satır ve j sütun alt altgösterimli (indisli) ve parantez dışındadisinda dizeymatris büyüklüğübuyuklugu verilerek ifade edilir. Örneğin m satırlı n sütunlu mxn türünden bir A dizeyimatrisi
# '''A''' veya
# <math>\underline{\underline{A}}</math> veya
# <math>\ A=[a_{ij}]_{mxn}</math>
olarak notasyonla ifade edilir.
şeklinde bir gösterilir.
Böylece genel olarak m ve n pozitif [[tamsayılar]], <math>i \in \{1,2,3,4, \cdots,m\}</math> ve <math>j \in \{1,2,3,4, \cdots,n\}</math> olmak üzere <math>a_{i,j}</math> sayma sayılarından oluşan yukarıdaki sayılar tablosu birmatris (dizey) olur. m, dizeyinmatrisin satır sayısını; n ise dizeyinmatrisin sütun sayısını belirtir. m satır ve n sütundan oluşan dizeyematrise <math>mxn</math> türünden dizeymatris denir:
<math>
== Türleri ==
=== Kare dizeymatris ===
Satır sayısı sütun sayısına eşit olan dizeylerdirmatrislerdir.
<br />
<math>
\end{bmatrix}
</math>
<br />A dizeyi 2x2 türünden bir kare dizeydirmatrisdir.
==== Birim dizeymatris ====
Kare dizeylerinmatrislerin yaygın bir örneği ise, köşegenin üzerindeki ögelerininöğelerinin ''1'' geri kalan yerlerdeki ögelerinöğelerin ''0'' olduğu birim dizeytirmatristir. Satır ve sütun sayısı ''n'' olan bir birim dizeyimatrisi göstermek için (başka bir yerde kullanılmamışsa) genelde ''I<sub>''n''</sub>'' kullanılır. Mesela, 3x3'lük bir birim dizeymatris
<math>
şeklinde gösterilir.
=== Sıfır dizeymatris ===
Tüm ögelerielemanları sıfır olan dizeydirmatrisdir.
<br />
<math>
\end{bmatrix}
</math>
<br />A dizeyi 2x3 türünden bir sıfır dizeydirmatrisdir.
=== Satır ve sütun dizeymatris ===
Sadece bir satırdan oluşandizeylereoluşan matrislere satır, sadece bir sütundan oluşan dizeylerematrislere ise sütun dizeymatris denir.
<br />
<math>
</math>
Eğer bir dizeyinmatrisin boyutlarından biri 1 ise (yani ya satır sayısı 1 veya sütun sayısı 1 ise yani satır dizeyimatrisi veya sütun dizeyimatrisi ise) bu dizeymatris, bir '''yöney''' veya '''vektör''' veya ''Euclid-tipi yöneyvektör'' olarak da tanımlanır.
== Cebirsel işlemler ==
Matematikte [[çarpma]] ile [[çarpım]] farklı kavramlardır. Çarpma bir [[ikili işlem]]dir üstelik [[kapalılık|kapalıd]]ır. Çarpım ise bir daha genel olarak bir [[gönderme]]dir. Aynı şekilde [[toplama]] ile [[toplam]] karıştırılmamalıdır.
=== DizeyMatris toplaması ===
DizeylerMatrisler bileşenleri karşılıklı olarak toplanırlar.
İki dizeyinmatrisin toplanabilmesi için satır ve sütün sayılarının eşit olması gerekir.
:<math>
=== Sayıyla (Skalerle) çarpma ===
Bir dizeymatris, bir sayıyla çarpılırsa her bileşeni o sayıyla çarpılır.
::<math>c_{ij}=k a_{ij}</math>
Örnek:
</math>
=== DizeyMatris çarpımı ===
DizeyMatris çarpımı ancak özel bir halde mümkündür ve genelde herhangi iki dizeymatris için dizeymatris çarpımı işlemi yapılamaz.
Çarpımı istenen iki dizeymatris için ilk defa ''ön-çarpan'' dizeymatris ile ''art-çarpan'' dizeymatris belirlenmesi gerekir.Çünkü çarpma işlemi sayılarda değişmelidir, fakat dizeylerdematrislerde değildir.Yani genel olarak '''A''' ve '''B''' dizeyimatrisi için
:'''AB''' ≠ '''BA'''
'''AB''' dizeymatris çarpımı için A ön-çarpan ve B art-çarpan; '''BA''' dizeymatris çarpımı için B ön-çarpan ve A art-çarpan olur. İki dizeymatris çarpımı gösterim ilenotasyonla belirtilmekle beraber ya '''AB''' ya '''BA''' ya da hem '''AB''' hem '''BA''' geçerli olmayabilir.
DizeyMatris çarpımı için yapılacak ilk işlem iki dizeyinmatrisin şu kurala uyup uymadığını kontrol etmektir:
<blockquote>'''DizeyMatris çarpımı ancak ön-çarpan sütun sayısı ile art-çarpan satır sayısı birbirine eşitlerse mümkündür.'''</blockquote>
Yani (pxj) boyutlu '''A''' dizeyimatrisi ile (kxl) boyutlu '''B''' dizeyininmatrisinin dizeymatris çarpımı '''AB''' ancak j=k ise mümkün olur; yoksa geçerli değildir. Bir ek kurala göre de
<blockquote>'''Eğer dizeymatris çarpımı geçerli ise, ortaya çıkartılacak çarpım dizeyimatrisi ön-çarpan satır sayısı ve art-çarpan dizeymatris sütun sayısı boyutludur'''
</blockquote>Yani eğer j=k ise, dizeymatris çarpımı sonucu '''AB'''' dizeyimatrisi (pxl) boyutludur.
Daha sayısal bir örnek olarak '''A''' dizeyimatrisi (2x3) boyutlu ise ve '''B''' (3x4) boyutlu ise '''AB''' dizeymatris çarpımı 3=3 olduğu için geçerlidir ve dizeymatris çarpımı işlemi sonuç '''AB''' dizeyimatrisi (2x4) boyutludur. Ama '''BA''' dizeymatris çarpımı işlemi geçerli değildir, çünkü 4≠2.
[[Dosya:Matrix multiplication diagram 2.svg|right|200px|thumb|'''A''' ve '''B''' dizeylerininmatrislerinin dizeymatris çarpımı '''AB''' ifadesinin bir şema ile gösterimi.]]
DizeyMatris çarpımının [[algoritma]]sı ilk ögeninöğenin i. satırı, ikinci ögeninöğenin j. sütunuyla bileşenleri karşılıklı olarak çarpılıp toplanır ve sonuç dizeyin bileşeni olarak yazılır.
:''A'', ''mxn'' boyutlu ''B'' de ''nxs'' boyutlu dizeyler olmak üzere ''mxs'' boyutlu sonuç dizey
::<math>A_{m \times n}B_{n \times s} = C_{m \times s}</math>
:olarak tanımlanır ve her ögesiöğesi
::<math>c_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}</math>
ile bulunur.
</math>
Çarpmayı, ilk ögeninöğenin her satırını bir yöney ve ikinci ögeninöğenin her sütununu bir yöney olarak düşünüp ilk ögeyiöğeyi bir [[sütun yöney]] ve ikinci ögeyiöğeyi bir [[satır yöney]] olarak yöney [[iç çarpım]]ına indirgeyebiliriz. Örneğin, <math>\vec{a}</math> ve <math>\vec{b}</math> yöneyleri n boyutlu olmak üzere,
:<math>A_{m \times n}=\begin{bmatrix} \vec{a_1} \\ \cdots \\ \vec{a_m} \end{bmatrix}</math> ve <math>B_{n \times s}=\begin{bmatrix} \vec{b_1} && \cdots && \vec{b_s} \end{bmatrix}</math>
şeklinde düşünüldüğünde çarpım,
=== Kronecker (Doğrudan) toplam ===
Bu toplamın sonucu bir dizeylermatrisler [[köşegen]]idir.
::<math>C=\oplus_{i=1}^{k} A_i=\text{kosegen}\left( A_1,A_2,...,A_k \right)=\left[ \begin{array}{cccc} A_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & A_k \\ \end{array} \right]</math>
:burada sonuç dizeyin boyutları, toplanan dizeylerin doğrudan boyutları toplamı kadardır.
=== Kronecker (Doğrudan) çarpım ===
Bu çarpım ilk ögeninöğenin her bileşenini ikinci ögeyleöğeyle doğrudan çarpmayla tanımlanır.
::<math>A_{m \times n} \otimes B_{r \times s} = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11}B & a_{12}B & \cdots & a_{1n}B \\ a_{21}B & a_{22}B & \cdots & a_{2n}B \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}B & a_{m2}B & \cdots & a_{mn}B \\ \end{array} \right]</math>
</math>
Bu denklemler sistemi dizeymatris kullanılarak çok basit bir şekle indirilebilir. DizeylerleMatrislerle sistem şöyle ifade edilir:
:<math>
~.
</math>
Daha kısa bir gösterimlenotasyonla bu şöyle yazılabilir:
:<math>
\left[\mathsf{A}\right] \left[\mathsf{x}\right] = \left[\mathsf{b}\right] ~~~~\text{or}~~~~ \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b} ~.
</math>
Burada <math>\mathbf{A}</math> <math>4\times 4</math> boyutlu dizeydirmatrisdir;
<math>\mathbf{x}</math>
ve
<math>\mathbf{b}</math> <math>4\times 1</math>
boyutlu sütunsutun dizeylerdirmatrislerdir.
Genel olarak n sayıda değişkenli m sayıda doğrusal denklemden oluşan şu doğrusal denklemler sistemi:
:''A''<sub>''m'',1</sub>''x''<sub>1</sub> + ''A''<sub>''m'',2</sub>''x''<sub>2</sub> + ... + ''A''<sub>''m'',''n''</sub>''x''<sub>''n''</sub> = ''b''<sub>''m''</sub>
çok kolayca bir denklemler dizeyimatrisi olarak ifade edilebilir. Bunun için '''x''' yöneyi ''n'' değişken ('x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) için bir n-sütun yöneyi (yani 'n''×1-dizeyimatrisi); '''A''' dizeyimatrisi ''m''x''n'' boyutlu katsayılar dizeyimatrisi ve '''b''' n-sütunsutun yöneyi halindeki denklem sabitleri olursa, herhangi bir doğrusal denklem sistemi dizeymatris denklemi olarak şöyle ifade edilir:
:'''Ax''' = '''b'''.
== Matematiksel dizeymatris kavramının tarihsel kaynağı ==
Doğrusal denklemler sistemlerinin çözülmesi için dizeymatris kavramlarının kullanılmasının çok uzun bir tarihi bulunmaktadir. Doğrusal denklemler sistemlerin ilk dizeymatris kullanarak açıklanıp çözülmesi, özellikle kare dizeylerlematrislerle ifade edilip determinant kullanımı dahil, MO.300 ile MS.200 arasında yazılmış olan ''Jiu Zhang Suan Shu'' (Matematik Sanatinda Dokuz Bolum) adli eserde bulundugu anlaşılmıştır. Bu eserden Batı Avrupa matematikçileri hiç haberdar olmamışlardır. Bundan sonra dizeymatris kavramı 2000 yıl kadar sonra 1683de "Seki Kowa" adlı Japon matematikçisi ve Batı Avrupa'da ilk defa 1693de Alman matematikçisi [[Leibniz]] tarafından ortaya atılmış ve ilk determinant kullanarak pratik çözüm olarak [[Cramer'in kuralı]] 1750'de [[Cramer|Gabriel Cramer]] tarafından gösterilmiştir.
DizeyMatris kuramınınteorisinin Batı Avrupa'da geliştirilmesi daha çok determinant kavramına önem vermekteydi. Determinantdan bağımsız olarak dizeymatris matematiğinin geliştirilmesi 1858de Arthur Cayley tarafından
''Memoir on the theory of matrices (DizeyMatris kuramıteorisi hakkında bir not)'' adında eserle başlamıştır. '''DizeyMatris''' terimi isim olarak ilk defa [[J.J.Syvester]] adlı İngiliz matematikçisi tarafından kullanılmıştır. Bu matematikçi determinantları açıp sayısal değerlerini bulmak için sütunsutun ve satırları silip gittikçe daha küçük determinant (minor) elde ederek bu sonuca bulma üzerinde uğraşı göstermiş ve sanki bir ana determinantan gittikçe küçülen "çocuk" determinantların bulunmasından ilham alarak simdi ''matris'' olarak adlandırdığımız kavrama Latince kökten ''mater'' (anne) sözcüğünden çıkardığı ''matrix'' adını vermiştir.
== Dış kaynaklar ==
[[Kategori:Doğrusal cebir]]
[[Kategori:Matrisler| ]]
[[Kategori:Dizeyler]]
{{Link SM|pl}}
| 