Hiperbolik fonksiyon: Revizyonlar arasındaki fark
[kontrol edilmiş revizyon] | [kontrol edilmiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
giriş |
Standart cebirsel denklikler |
||
10. satır:
Hiperbolik fonksiyonlar, 1760'larda birbirlerinden bağımsız olarak [[Vincenzo Riccati]] ve [[Johann Heinrich Lambert]] tarafından tanımlanmıştır.<ref>Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, Charles Edward Sandifer. ''Euler at 300: an appreciation.'' Mathematical Association of America, 2007. Page 100.</ref> Riccati dairesel fonksiyonlar için ''Sc.'' ve ''Cc.'' (''[co]sinus circulare'') hiperbolik fonksiyonlar için ise ''Sh.'' ve ''Ch.'' (''[co]sinus hyperbolico'') kısaltmalarını kullanmıştır. Lambert aynı isimleri kullanmış ancak kısaltma olarak günümüzde kullanılan kısaltmaları kullanmıştır. <ref>Georg F. Becker. ''Hyperbolic functions.'' Read Books, 1931. Page xlviii.</ref> ''sh'' ve ''ch'' kısaltmaları [[Fransızca]] ve [[Rusça]] gibi bazı dillerde günümüzde de kullanılmaktadır.
==Standart cebirsel denklikler==
[[Dosya:sinh cosh tanh.svg|256px|thumb|<font color=#b30000>sinh</font>, <font color=#00b300>cosh</font> and <font color=#0000b3>tanh</font>]]
[[Dosya:csch sech coth.svg|256px|thumb|<font color=#b30000>csch</font>, <font color=#00b300>sech</font> and <font color=#0000b3>coth</font>]]
{{multiple image
| direction = vertical
| width = 225
| footer = (a) cosh ve (b) sinh hiperbolik fonksiyonları <math>e^x</math> ve <math>e^{-x}</math> üstel fonksiyonları kullanılarak elde edilmiştir
| image1 = Hiperbolik ve üstel; cosh.svg
| caption1 = (a) cosh(''x'') ''e<sup>x</sup>'' ve ''e<sup>−x</sup>'' fonksiyonlarının [[Aritmetik ortalama|ortalama]]sıdır.
| alt1 = (a) cosh(''x'') ''e<sup>x</sup>'' ve ''e<sup>−x</sup>'' fonksiyonlarının [[Aritmetik ortalama|ortalama]]sıdır.
| image2 = Hiperbolik ve üstel; sinh.svg
| caption2 = (b) sinh(''x'') ''e<sup>x</sup>'' ile ''e<sup>−x</sup>'' fonksiyonlarının [[Çıkarma|fark]]ının yarısıdır.
| alt2 = (b) sinh(''x'') ''e<sup>x</sup>'' ile ''e<sup>−x</sup>'' fonksiyonlarının [[Çıkarma|fark]]ının yarısıdır.
}}
Hiperbolik fonksiyonlar şunlardır:
* Hiperbolik sinüs:
::<math>\sinh x = \frac {e^x - e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} - 1} {2e^x}</math>
* Hiperbolik kosinüs:
::<math>\cosh x = \frac {e^x + e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} + 1} {2e^x}</math>
* Hiperbolik tanjant:
::<math>\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}</math>
* Hiperbolik kotanjant:
::<math>\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1}</math>
* Hiperbolik sekant:
::<math>\operatorname{sech}\,x = \left(\cosh x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} + 1}</math>
* Hiperbolik kosekant:
::<math>\operatorname{csch}\,x = \left(\sinh x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} - 1}</math>
Hiperbolik fonksiyonlar imajiner dairesel açılarla da ifade edilebilir:
* Hiperbolik sinüs:
::<math>\sinh x = - {\rm{i}} \sin {\rm{i}}x \!</math>
* Hiperbolik kosinüs:
::<math>\cosh x = \cos {\rm{i}}x \!</math>
* Hiperbolik tanjant:
::<math>\tanh x = -{\rm{i}} \tan {\rm{i}}x \!</math>
* Hiperbolik kotanjant:
::<math>\coth x = {\rm{i}} \cot {\rm{i}}x \!</math>
* Hiperbolik sekant:
::<math>\operatorname{sech}\,x = \sec { {\rm{i}} x} \!</math>
* Hiperbolik kosekant:
::<math>\operatorname{csch}\,x = {\rm{i}}\,\csc\,{\rm{i}}x \!</math>
''i'', ''i''<sup>2</sup> = −1 olarak tanımlanan [[i sayısı|imajiner birim]]dir.
Yukarıdaki denkliklerin [[karmaşık sayı]] biçimleri [[Euler formülü|Euler denklemi]]nden gelir.
Kabul edilen konvansiyon gereği, sinh<sup>2</sup> ''x'', (sinh ''x'')<sup>2</sup> anlamına gelir ve sinh(sinh ''x'') demek değildir. Bu kabul pozitif üstler ile diğer hiperbolik fonksiyonlar için de geçerlidir. Hiperbolik kotanjant fonksiyonu ctnh ''x'' olarak da yazılır ama coth ''x'' gösterimi daha yaygındır.
==Notlar==
|