Hiperbolik fonksiyon: Revizyonlar arasındaki fark

[kontrol edilmiş revizyon][kontrol edilmiş revizyon]
İçerik silindi İçerik eklendi
giriş
 
Standart cebirsel denklikler
10. satır:
Hiperbolik fonksiyonlar, 1760'larda birbirlerinden bağımsız olarak [[Vincenzo Riccati]] ve [[Johann Heinrich Lambert]] tarafından tanımlanmıştır.<ref>Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, Charles Edward Sandifer. ''Euler at 300: an appreciation.'' Mathematical Association of America, 2007. Page 100.</ref> Riccati dairesel fonksiyonlar için ''Sc.'' ve ''Cc.'' (''[co]sinus circulare'') hiperbolik fonksiyonlar için ise ''Sh.'' ve ''Ch.'' (''[co]sinus hyperbolico'') kısaltmalarını kullanmıştır. Lambert aynı isimleri kullanmış ancak kısaltma olarak günümüzde kullanılan kısaltmaları kullanmıştır. <ref>Georg F. Becker. ''Hyperbolic functions.'' Read Books, 1931. Page xlviii.</ref> ''sh'' ve ''ch'' kısaltmaları [[Fransızca]] ve [[Rusça]] gibi bazı dillerde günümüzde de kullanılmaktadır.
 
==Standart cebirsel denklikler==
[[Dosya:sinh cosh tanh.svg|256px|thumb|<font color=#b30000>sinh</font>, <font color=#00b300>cosh</font> and <font color=#0000b3>tanh</font>]]
[[Dosya:csch sech coth.svg|256px|thumb|<font color=#b30000>csch</font>, <font color=#00b300>sech</font> and <font color=#0000b3>coth</font>]]
{{multiple image
| direction = vertical
| width = 225
| footer = (a) cosh ve (b) sinh hiperbolik fonksiyonları <math>e^x</math> ve <math>e^{-x}</math> üstel fonksiyonları kullanılarak elde edilmiştir
| image1 = Hiperbolik ve üstel; cosh.svg
| caption1 = (a) cosh(''x'') ''e<sup>x</sup>'' ve ''e<sup>−x</sup>'' fonksiyonlarının [[Aritmetik ortalama|ortalama]]sıdır.
| alt1 = (a) cosh(''x'') ''e<sup>x</sup>'' ve ''e<sup>−x</sup>'' fonksiyonlarının [[Aritmetik ortalama|ortalama]]sıdır.
| image2 = Hiperbolik ve üstel; sinh.svg
| caption2 = (b) sinh(''x'') ''e<sup>x</sup>'' ile ''e<sup>−x</sup>'' fonksiyonlarının [[Çıkarma|fark]]ının yarısıdır.
| alt2 = (b) sinh(''x'') ''e<sup>x</sup>'' ile ''e<sup>−x</sup>'' fonksiyonlarının [[Çıkarma|fark]]ının yarısıdır.
}}
Hiperbolik fonksiyonlar şunlardır:
 
* Hiperbolik sinüs:
::<math>\sinh x = \frac {e^x - e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} - 1} {2e^x}</math>
 
* Hiperbolik kosinüs:
::<math>\cosh x = \frac {e^x + e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} + 1} {2e^x}</math>
 
* Hiperbolik tanjant:
::<math>\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}</math>
 
* Hiperbolik kotanjant:
::<math>\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1}</math>
 
* Hiperbolik sekant:
::<math>\operatorname{sech}\,x = \left(\cosh x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} + 1}</math>
 
* Hiperbolik kosekant:
::<math>\operatorname{csch}\,x = \left(\sinh x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} - 1}</math>
 
Hiperbolik fonksiyonlar imajiner dairesel açılarla da ifade edilebilir:
 
* Hiperbolik sinüs:
::<math>\sinh x = - {\rm{i}} \sin {\rm{i}}x \!</math>
 
* Hiperbolik kosinüs:
::<math>\cosh x = \cos {\rm{i}}x \!</math>
 
* Hiperbolik tanjant:
::<math>\tanh x = -{\rm{i}} \tan {\rm{i}}x \!</math>
 
* Hiperbolik kotanjant:
::<math>\coth x = {\rm{i}} \cot {\rm{i}}x \!</math>
 
* Hiperbolik sekant:
::<math>\operatorname{sech}\,x = \sec { {\rm{i}} x} \!</math>
 
* Hiperbolik kosekant:
::<math>\operatorname{csch}\,x = {\rm{i}}\,\csc\,{\rm{i}}x \!</math>
 
''i'', ''i''<sup>2</sup> = −1 olarak tanımlanan [[i sayısı|imajiner birim]]dir.
 
Yukarıdaki denkliklerin [[karmaşık sayı]] biçimleri [[Euler formülü|Euler denklemi]]nden gelir.
 
Kabul edilen konvansiyon gereği, sinh<sup>2</sup> ''x'', (sinh ''x'')<sup>2</sup> anlamına gelir ve sinh(sinh ''x'') demek değildir. Bu kabul pozitif üstler ile diğer hiperbolik fonksiyonlar için de geçerlidir. Hiperbolik kotanjant fonksiyonu ctnh&nbsp;''x'' olarak da yazılır ama coth&nbsp;''x'' gösterimi daha yaygındır.
 
==Notlar==