Vida teorisi

Vida teorisi (Screw teorisi) vektör çiftlerini ilgilendiren cebir ve hesaplama teorisidir. Genellikle katı cisimlerin kinematik ve dinamik hesaplamalarında kullanılan doğrusal ve açısal hız, kuvvet ve tork vektör çiftlerini inceler. Matematiksel kuramı Robert Stawell Ball tarafından 1876 yılında geliştirilmiştir.

Bir vida hareketi bir eksen etrafında dönme ve aynı eksen doğrultusunda ötelenmeyi ifade eder.

Temel kavramlar

Bir katı cismin hareketi doğrusal bir eksen etrafında dönme ve aynı eksen doğrultusunda ötelenme şeklinde, bir vida hareketi olarak tanımlanabilir. Vida hareketi katı cisimlerin yapabileceği bütün hareketleri ifade etmek için yeterlidir. Bu Chasles'in teorisi olarak da bilinir.

Altı boyutlu bir vida vektörü bir çift üç boyutlu vektörden oluşur. Örneğin, kuvvet ve torktan ya da doğrusal ve açısal hızlardan oluşabilir.

Vida cebiri

Bir vida sıralı bir çift olarak tanımlanır:

${\mathsf {S}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} ),$

Burada S ve V üç boyutlu gerçel vektörlerdir. Bu sıralı çiftlerin toplama ve çıkarma işlemi vektörlerde olduğu gibi eleman bazında yapılır. Vidalar sıklıkla çiftli vektör olarak da adlandırılır.

İki gerçel sayıdan oluşan â=(a, b) sıralı çiftine çiftli skaler denir. Bunların toplama ve çıkarma işlemleri de eleman bazındadır. İki tane çiftli skalerin çarpımı:

${\hat {a}}{\hat {c}}=(a,b)(c,d)=(ac,ad+bc).\!$

Bundan hareketle bir S=(S, V) vidasının bir â=(a, b) çiftli skaleriyle çarpımı:

${\hat {a}}{\mathsf {S}}=(a,b)(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )=(a\mathbf {S} ,a\mathbf {V} +b\mathbf {S} ).\!$

Son olarak iki vida arasındaki çarpma işlemleri tanımlanır. Nokta çarpımının sonucu bir çiftli skalerdir:

${\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {T}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )\cdot (\mathbf {T} ,\mathbf {W} )=(\mathbf {S} \cdot \mathbf {T} ,\,\,\mathbf {S} \cdot \mathbf {W} +\mathbf {V} \cdot \mathbf {T} ),$

İki vidanın çapraz çarpımı ise yeni bir vidadır:

${\mathsf {S}}\times {\mathsf {T}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )\times (\mathbf {T} ,\mathbf {W} )=(\mathbf {S} \times \mathbf {T} ,\,\,\mathbf {S} \times \mathbf {W} +\mathbf {V} \times \mathbf {T} ).$

Vida cebirinde tanımlanan çarpma işlemleri vektör cebirindeki özdeşlikleri sağlar ve hesaplamaları vektör cebiriyle parallellik gösterir.

ẑ=(φ, d) çifti skaleri kullanılarak bir çiftli açı tanımlanır. Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının sonsuz seri tanımlarından aşağıdaki sonuca ulaşılır:

$\sin {\hat {z}}=\sin \phi +d\cos \phi ,\,\,\,\cos {\hat {z}}=\cos \phi -d\sin \phi .\!$

Bir çiftli değişkenin fonksiyonu f(ẑ)=(f(φ), df′(φ)) olarak tanımlanır. Burada f(φ)'nin türevi f′(φ) olarak gösterilmiştir.

Bu tanımlardan aşağıdaki sonuçlara ulaşılır:

• Birim vidalar bir doğrunun Plücker koordinatlarıdır ve aşağıdaki ilişkiyi sağlar:

$|{\mathsf {S}}|={\sqrt {{\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {S}}}}=1;$

• Bir ẑ=(φ, d) çiftli açısındaki φ açısı S ve T vidalarının eksenlerinin arasındaki açıyı ortak normale göre tanımlar, d ise vidaların ortak normal üzerindeki mesafesini tanımlar. Öyleyse:

${\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {T}}=|{\mathsf {S}}||{\mathsf {T}}|\cos {\hat {z}};$

• S ve T vidalarının eksenlerinin ortak normali birim vida N olarak tanımlanır, ẑ=(φ, d) bu eksenler arasındaki açıdır. Öyleyse:

${\mathsf {S}}\times {\mathsf {T}}=|{\mathsf {S}}||{\mathsf {T}}|\sin {\hat {z}}{\mathsf {N}}.$