Sonsuzküçük dönüşüm

Matematik'te, sonsuzküçük dönüşüm limiti sıfıra yaklaşan çok küçük bir dönüşümdür. Örneğin üç-boyutlu uzayda bir katı cismin sonsuzküçük dönüşünden bahsedilebilir. Geleneksel olarak 3×3'lük bir A çarpık-simetrik matrisi ile gösterilir. Bu tam anlamıyla bir dönüş matrisi değildir; ama bir ε değişkeninin çok küçük gerçel değerleri için

$I+\varepsilon A$

dönüşümü, en fazla ε² miktarlarına kadar bir küçük dönmedir.

Tarih

sonsuzküçük dönüşümlerin Kapsamlı bir teorisi ilk Sophus Lie tarafından verilmişti,aslında bu,onun çalışmalarının merkezinde yer aldı,Lie grubu olarak adlandırılır ve onlara eşlik eden Lie grubu beraberindeki Lie cebri denir geometrik rollerinin belirlenmesi ve diferansiyel denklemlerin özel teorisi ayırıcıdır.Sonsuzküçük dönüşümlerin tam olarak tanımlayıcısı olan soyut bir Lie cebri'nin,grup teorisi aksiyomlarının simetrisini somutlaştırmak gibi özellikleri vardır "Lie cebri" terimi 1934 yılında Hermann Weyl tarafından tanıtıldı, o zamana kadar Lie grubunun sonsuzküçük dönüşümlerin cebri olarak bilinmekteydi. Örneğin,çapraz çarpım tarafından sağlanan,bir çarpık-simetrik matris bir 3-vektör ile tespit edildikten sonra sonsuzküçük rotasyon durumu içinde,bir Lie cebri yapısıdır. Dönüşleri için bir eksen vektör seçiminde bu rakam, Jacobi özdeşliği tanımı çapraz çarpımlarını iyi bilinen bir özelliğidir. homojen fonksiyonların Euler teoremi Bir sonsuzküçük dönüşümün bu en eski örneği gibi kabul edilmiştir. n değişken x₁, ..., x_n burada bir F fonksiyonu durumudur. şimdi r açısının homojenliği,tatmin edicidir:

$H\cdot F=rF\,$

ile

$H=\sum _{i}x_{i}{\partial \over \partial x_{i}},$

bir diferansiyel operatör'dür.Bu özelliklerden

$F(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{r}F(x_{1},\dots ,x_{n})\,$

biz etkin diferansiyelle sırasıyla λ ve sonra λ kümesini 1'e eşitleyebiliriz. Bu da homojen özelliğine sahip düzgün bir fonksiyonu F için gerekli durum olur;o da yeterlidir (Schwartz dağılımı kullanarak biz burada matematiksel analiz durumlarını azaltabiliriz),içinde bizim ölçek işlevli bir tek-parametre grubu var ki,bu çerçeve tipiktir;ve aslında bu bilgiler bir birinci-dereceden diferansiyel operatör'dür bir sonsuzküçük dönüşümü olarak kodlanmistir.

Taylor teoreminin Operatör versiyonu

operator denklemi

$e^{tD}f(x)=f(x+t)\,$

burada

$D={d \over dx}$

Taylor teoreminin versiyonu bir operatördür — ve bu nedenle yalnızca uyarılar altında f analitik fonksiyon olarak geçerlidir.yoğun olarak operatör kısmı, D sonsuzküçük dönüşüm etkisi gösterir, gerçek hat yoluyla üstelin genel dönüşümleridir.Lie teorisi içinde, bu genelleştirilmiş tek yoldur.Herhangi bağlı Lie grubu,sonsuz üreteç ile inşa edilebilir (bu grup Lie cebri için bir temeldir );Baker–Campbell–Hausdorff formülü içinde verilir.Operatör kısmına yoğunlaşırsak üstel yoluyla gerçek çizginin ötelemelerini üreten bu, D Lie teorisinde bir sonsuzküçük dönüşüm etkisi gösterir, bu yol uzun bir genelleştirilmedir.Herhangi Lie grubuna bağlı, sonsuzküçük jeneratör vasıtasıyla inşa edilebilir.Baker-Campbell-Hausdorff formülü'nde verilen açıklıkla her zaman yararlı olmayan bilgiler kullanılabilir.

Kaynakça

• Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Lie algebra", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104