Riemann küresi

Matematikte Riemann küresi, genişletilmiş karmaşık düzlemin artı sonsuzdaki noktanın bir modelidir. Bernhard Riemann'ın yüksek çalışmaları nedeniyle onun soyismini verilmiştir. Genişletilmiş bu düzlem, genişletilmiş karmaşık sayıları—yani artı sonsuzdaki ∞ değerli karmaşık sayıları—temsil eder. Riemann modelinde, "0" noktası çok küçük sayılara yakın olur ise "∞" noktası çok daha büyük sayılara yakınlaşır.

Riemann küresi, bir kürenin etrafına sarılmış karmaşık sayı düzlemi olarak görselleştirilebilir (bir tür stereografik izdüşüm - ayrıntılar aşağıda verilmiştir).

Genişletilmiş karmaşık sayılar, karmaşık analizde kullanışlıdır çünkü bazı durumlarda ${\tfrac {1}{0}}=\infty$ gibi ifadeleri iyi davranan bir şekilde sıfıra bölmeye izin verirler. Örneğin, karmaşık düzlemdeki herhangi bir rasyonel fonksiyon, kürenin kutuplarında sonsuza eşlenerek fonksiyonu bir holomorfik fonksiyona genişletilebilir. Daha genel olarak, herhangi bir meromorfik fonksiyon, ortak alanı Riemann küresi olan holomorfik bir fonksiyon olarak düşünülebilir.

Riemann yüzeyinin prototipik örneği, geometride Riemann küresidir ve en basit karmaşık manifoldlardan biridir. Tasarı geometrisinde, C²deki tüm karmaşık çizgilerin projektif uzayı olan karmaşık (Complex, İngilizceden) projektif çizgisi P¹(C) olarak düşünülebilir. Herhangi bir kompakt Riemann yüzeyinde olduğu gibi, küre aynı zamanda bir projektif cebirsel eğri olarak da görülebilir, bu da onu cebirsel geometride temel bir örnek haline getirir. Aynı zamanda, diğer fizik dallarında olduğu gibi kuantum mekaniğinde (Bloch küresi) ve analiz ile geometriye bağlı olan diğer disiplinlerde de kullanım alanı bulur.

Genişletilmiş karmaşık sayılar

Genişletilmiş karmaşık sayılar, ∞ ile birlikte C karmaşık sayılarından oluşur. Genişletilmiş karmaşık sayılar kümesi C ∪ {∞} olarak yazılabilir ve genellikle C harfine bazı süslemeler eklenerek belirtilir,

${\hat {\mathbb {C} }},\quad {\overline {\mathbb {C} }},\quad {\text{veya}}\quad \mathbb {C} _{\infty }.$

Geometrik olarak, genişletilmiş karmaşık sayılar kümesi Riemann küresi (veya genişletilmiş karmaşık düzlem) olarak isimlendirilir.

Aritmetik işlemler

Karmaşık sayıları toplanma, z ∈ C için tanımlanarak uzatılabilir,

$z+\infty =\infty$

herhangi bir karmaşık sayının z ile çarpımı şu şekilde tanımlanabilir:

$z\times \infty =\infty$

sıfır olmayan tüm karmaşık sayılar için z, ∞ × ∞ = ∞ olur. ∞ - ∞ ve 0 × ∞ un tanımsız kaldığını unutmayın. Karmaşık sayıların aksine, genişletilmiş karmaşık sayılar bir alan oluşturmaz, çünkü ∞ çarpımsal bir tersi yoktur. Yine de, C ∪ {∞} üzerinde şu şekilde bölünmeyi tanımlamak gelenekseldir:

${\frac {z}{0}}=\infty \quad {\text{ve}}\quad {\frac {z}{\infty }}=0$

Dış bağlantılar

• "Riemann sphere" 6 Ağustos 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Moebius Transformations Revealed 26 Ekim 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., by Douglas N. Arnold and Jonathan Rogness (a video by two University of Minnesota professors explaining and illustrating Möbius transformations using stereographic projection from a sphere)