Log-normal dağılım
Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında log-normal dağılım logaritması normal dağılım gösteren herhangi bir rassal değişken için tek-kuyruklu bir olasılık dağılımdır. Eğer Y normal dağılım gösteren bir rassal değişken ise, bu halde X= exp(Y) için olasılık dağılımı bir log-normal dağılımdır; aynı şekilde eğer X log-normal dağılım gösterirse o halde log(X) normal dağılım gösterir. Logaritma fonksiyonu için bazın ne olduğu önemli değildir: Herhangi iki pozitif sayı olan a, b ≠ 1 için eğer loga(X) normal dağılım gösterirse, logb(X) fonksiyonu da normaldir.
Olasılık yoğunluk fonksiyonu μ=0 | |
Yığmalı dağılım fonksiyonu μ=0 | |
Parametreler | |
---|---|
Destek | |
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF) | |
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF) | |
Ortalama | |
Medyan | |
Mod | |
Varyans | |
Çarpıklık | |
Fazladan basıklık | |
Entropi | |
Moment üreten fonksiyon (mf) | (Ham momentler için metine bakin) |
Karakteristik fonksiyon |
Karakterizasyon değiştir
Olasılık yoğunluk fonksiyonu değiştir
Log-normal dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu için şudur:
Burada μ ve σ değişkenin logaritma değerleri için ortalama ve standart sapmasidir. Bu halde parametreler kullanılan logaritma türünde (ya e bazlı, 2 bazlı veya 10 bazlı) birimlerdedir. Ancak radyo komünikasyon incelemelerinde bu parametreler tipik olarak desibel birimleri iledir.
Yığmalı dağılım fonksiyonu değiştir
Log-normal dağılım için yığmalı dağılım fonksiyonu şudur:
Momentler değiştir
Bütün momentler şu ifadelerle verilmiştir:
Moment üreten fonksiyon değiştir
Log-normal dağılım için moment ureten fonksiyon bulunmamaktadır.
Özellikler değiştir
Ortalama ve standart sapma değiştir
Beklenen değer (ortalama) şudur:
Varyans şöyle ifade edilir:
ve standart sapma şu olur:
Beklenen değer ve varyans verilmiş olduğu halde μ ve σ2 değerlerini elde etmek için kullanılan bağlantılar şöyle ifade edilir:
Mod ve medyan değiştir
Bu dağılım için mod şudur:
Medyan şudur:
Geometrik ortalama ve geometrik standart sapma değiştir
Log-normal dağılım için geometrik ortalama ve geometrik standart sapma olur.
Eğer bir örneklem veri serisi log-normal dağılım gösteren bir anakütleden gelmişse, geometrik ortalama ve geometrik standart sapma güvenlilik aralık kestirimi elde etmek için kullanılabilir. Bu noramal dağılım gösteren anakütleden gelen örneklem verilerinden aritmetik ortalama ve standart sapma kullanılarak güvenlilik aralığı bulmaya benzemektedir.
Güvenlik aralığı sınırları | Log uzayi | Geometrik |
---|---|---|
3σ alt sınır | ||
2σ alt sınır | ||
1σ alt sınır | ||
1σ üst sınır | ||
2σ üst sınır | ||
3σ üst sınır |
Burada geometrik ortalama ve geometrik standart sapma olur.
Momentler değiştir
Bu dağılım için ilk birkaç ham momentler şunlardır:
Kısmî bekleyişler değiştir
Parametrelerin maksimum olabilirlilik kestirimi değiştir
İlişkili dağılımlar değiştir
- Eğer bir normal dağılım gösterirse, o halde .
- Eğer bağımsız olarak parametreleri aynı μ ve değişik σ olan log-normal dağılım gösteren değişkenlerse ve ise, o halde Y de log-normal dağılım gösteren değişkendir; yani olur.
Ayrıca bakınız değiştir
Kaynakça değiştir
- Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957), The Lognormal Distribution,
- Brooks,R., Corson,J., ve Wales,J.D, (1994), "The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion" 22 Haziran 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., Advances in Futures and Options Research, C7
- Hull, J. (2005), "Properties of Lognormal Distribution" Options, Futures, and Other Derivatives 6ed'
- Lee,C.F. ve Lee, J. C. (to appear) "Normal and Lognormal Distribution" Alternative Option Pricing Models: Theory, Methods, and Applications 27 Eylül 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., Kluwer Academic Publishers
- Limpert,M., Stahel,W. ve Abbt,M., (2001) "Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues" 19 Nisan 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., BioScience, C.51 No.5 say. 341-352
- Swamee,P.K. (2002), "Near Lognormal Distribution"[ölü/kırık bağlantı], Journal of Hydrologic Engineering, C7 No.6 say.441-444
- Weisstein, E.W. et al. (2006) "Log Normal Distribution" 12 Temmuz 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. 26 Ekim 2006.