Laplace dağılımı

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında Laplace dağılımı Pierre-Simon Laplace anısına isimlendirilmiş bir sürekli olasılık dağılımıdır. Arka arkaya birbiriyle yapıştırılmış şekilde ve bir de konum parametresi dahil edilerek birleştirilmiş iki üstel dağılımdan oluştuğu için, çift üstel dağılımı adı ile de anılmaktadır. İki bağımsız ve tıpatıp aynı şekilde üstel dağılım gösteren bir rassal değişken bir Laplace dağılımı ile işlev görürler. Bu, aynen üstel dağılım gösteren rassal zamanda değerlendirilen Brown devinimine benzer.

Laplace

Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Parametreler	$\mu \,$ konum (reel) $b>0\,$ ölçek (reel)
Destek	$x\in (-\infty ;+\infty )\,$
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF)	${\frac {1}{2\,b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\,$
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF)	metine bakın
Ortalama	$\mu \,$
Medyan	$\mu \,$
Mod	$\mu \,$
Varyans	$2\,b^{2}$
Çarpıklık	$0\,$
Fazladan basıklık	$3\,$
Entropi	$\log _{2}(2\,e\,b)$
Moment üreten fonksiyon (mf)	${\frac {\exp(\mu \,t)}{1-b^{2}\,t^{2}}}\,\!$ for $|t|<1/b\,$
Karakteristik fonksiyon	${\frac {\exp(\mu \,i\,t)}{1+b^{2}\,t^{2}}}\,\!$

Karekteristikler

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Eğer bir rassal değişken şu olasılık yoğunluk fonksiyonu gösteriyorsa, o rassal değişken bir Laplace(μ,b) dağılımı gösterir:

$f(x|\mu ,b)={\frac {1}{2b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\,\!$

$={\frac {1}{2b}}\left\{{\begin{matrix}\exp \left(-{\frac {\mu -x}{b}}\right)&{\mbox{if }}x<\mu \\[8pt]\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x\geq \mu \end{matrix}}\right.$

Burada, μ konum parametresi ve b > 0 ölçek parametresi olurlar. Eğer μ = 0 ve b = 1, pozitif yarı-doğru tıpatıp 1/2 oran ile ölçeklenmiş bir üstel dağılımdır.

Laplace dağılımı için olasılık yoğunluk fonksiyonu bir normal dağılımı anımsatmaktadır. Fakat normal dağılım ortalama μdan farkın karesi terimleri ile ifade edilirken, buna karşılık Laplace dağılım yoğunluğu ortalamadan mutlak farklar terimleri ile ifade edilmektedirler. Sonuç olarak normal dağılıma nazaran Laplace dağılım daha şişkin kuyruklar gösterir.

Yığmalı dağılım fonksiyonu

(Eğer iki simetrik hal görülüp ayırt edilirlerse), Laplace dağılımının integralinin alınması kolaydır. Çünkü bu işlem için mutlak değer fonksiyonu kullanılır. Böylece yığmalı dağılım fonksiyonu şöyle bulunur:

$F(x)\,$	$=\int _{-\infty }^{x}\!\!f(u)\,\mathrm {d} u$
	$=\left\{{\begin{matrix}&{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {\mu -x}{b}}\right)&{\mbox{if }}x<\mu \\[8pt]1-\!\!\!\!&{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x\geq \mu \end{matrix}}\right.$
	$=0.5\,[1+\operatorname {sgn}(x-\mu )\,(1-\exp(-|x-\mu |/b))].$

Ters yığmalı dağılım fonksiyonu şöyle verilir:

$F^{-1}(p)=\mu -b\,\operatorname {sgn}(p-0.5)\,\ln(1-2|p-0.5|).$

Laplace değişebilirlerinin üretilmesi

Bir rassal değişken olan Unun (-1/2, 1/2] aralığında bulunan tekdüze dağılımdan çekilmiş olduğu bilinirse, şu değişebilir

$X=\mu -b\,\operatorname {sgn}(U)\,\ln(1-2|U|)$

μ ve b parametreleri olan bir Laplace dağılımı gösterir. Bu sonuç yukarıda verilen ters yığmalı dağılım fonksiyonundan hemen çıkartılır.

Bir Laplace(0,b) değişebilir Üstel(1/b) dağılım gösteren iki bağımsız ve aynen dağılım gösteren rassal değişken arasındaki fark olarak üretilebilir. Buna eşit olan bir şekilde, bir Laplace(0,1) değişebilir, tekdüze dağılım gösteren iki bağımsız ve aynen dağılım gösteren rassal değişkenlerin oranının logaritması olarak üretilebilir.

Parametre kestirimi

N sayıda bağımsız ve aynı şekilde dağılım gösteren örneklemler x₁, x₂, ..., x_N olarak verilsin, $\mu$un kestirimcisi (yani ${\hat {\mu }}$) olarak örneklem medyanı alınsın, o halde b parametresinin kestirimcisi şu olur:

${\hat {b}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-{\hat {\mu }}|,$

Bu bir maksimum olabilirlilik kestirimcisidir.

Momentler

$\mu _{r}'={\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}\sum _{k=0}^{r}{\bigg [}{\frac {r!}{k!(r-k)!}}b^{k}\mu ^{(r-k)}k!\{1+(-1)^{k}\}{\bigg ]}$

İlişkili dağılımlar

• Eğer $X\sim \mathrm {Laplace} (0,b)\,$ ise, o zaman $|X|\sim \mathrm {Ustel} (b^{-1})\,$ bir üstel dağılım gösterir.
• Eğer $X\sim \mathrm {Ustel} (\lambda )\,$ ve $X\,$den bağımsız olan $Y\sim \mathrm {Bernoulli} (0.5)\,$ iseler, o halde

$X(2Y-1)\sim \mathrm {Laplace} (0,\lambda ^{-1})\,$ olur.

• Eğer $X_{1}\sim \mathrm {Ustel} (\lambda _{1})\,$ ve $X_{1}$dan bağımsız olan $X_{2}\sim \mathrm {Ustel} (\lambda _{2})\,$ ise, o halde$\lambda _{1}X_{1}-\lambda _{2}X_{2}\sim \mathrm {Laplace} \left(0,1\right)\,$ olur ．

İç kaynaklar

• Log-Laplace dağılımı