Green teoremi

Matematikte, Green kuramı basit, kapalı bir C eğrisi etrafındaki çizgi integrali ile C eğrisinin sınırlandırdığı D düzlem bölgesi üzerindeki çift katlı integral arasındaki ilişkiyi verir. Teorem adını matematikçi George Green’den almıştır ve daha genel hâli olan Stokes teoreminin iki boyuttaki özel durumudur.

Teorem

C düzlemde saat yönünün tersi yönünde, parçalı olarak düzgün, basit ve kapalı bir eğri olsun, ve D de C eğrisinin sınırlandırdığı bölge olsun. Eğer L ve M (x, y)’ye bağlı, D’yi de içeren açık bir bölgede tanımlanmış ve aynı bölgede sürekli kısmî türevlere sahip fonksiyonlar ise, o zaman;

$\oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy$

deriz ve burada integrasyon yolu C saat yönünün tersi yönündedir.

Fizikte, Green teoremi çoğunlukla iki boyutlu akış integrallerinin çözümünde kullanılır. Akış integrallerinde, bir hacim içinde bulunan herhangi bir noktadaki dışarıya akan akışkan toplamı çevreleyen alan etrafındaki toplam dışarıya akana eşittir. Düzlem geometrisinde, özellikle de alan incelemede, Green teoremi alan hesaplamak ve sadece çevre üzerinde integrasyon ile düzlem şekillerinin ağırlık merkezlerinin bulunmasında kullanılabilir.

D basit bir bölge olduğunda ispatı

D basit bir bölge ise ve sınırları C₁, C₂, C₃, C₄ eğrilerinden oluşuyorsa, Green teoremi’nin yarısı kanıtlanabilir.

Aşağıdaki ispat basitleştirilmiş D bölgesi için teoremin yarısının ispatıdır. D bölgesi 1. tip bir bölge olup, D bölgesinde C₂ ve C₄ dikey doğruları bulunmaktadır. (muhtemelen sıfır uzunlukta). Teoremin diğer yarısı için de benzer bir ispat vardır. Bu durumda D 2. tip bir bölge olup, D bölgesinde C₁ ve C₃ yatay doğruları bulunmaktadır. (gene muhtemelen sıfır uzunlukta). Bu iki kısmı birleştirerek, teorem 3. tip (hem 1. tip hem de 2. tip olan bölgeler olarak tanımlanmışlardır) bölgeler için ispatlanabilir. Daha sonra, D bölgesi 3. tip bölgeler kümesine ayrıştırılarak, özel hâlden genel hâle geçilebilir.

Eğer;

$\oint _{C}L\,dx=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(1)}$

ve

$\oint _{C}M\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(2)}$

eşitliklerinin doğru olduğunu gösterebilirsek, Green teoremi D bölgesi için türetilebilir. (1) denklemini 1. tip bölgeler için, ve (2) denklemini 2. tip bölgeler için ispatlayabiliriz. Green teoremi de 3. tip bölgeler için türetilebilir.

Varsayalım ki D 1. tip bir bölge ve böylelikle aşağıdaki şekilde tanımlanabilir, sağda resmedildiği gibi,

$D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}$

Burada g₁ ve g₂ [a, b] aralığı üzerinde sürekli fonksiyonlardır. (1) denklemindeki çift katlı integrali hesaplayalım:

${\begin{aligned}\iint _{D}{\frac {\partial L}{\partial y}}\,dA&=\int _{a}^{b}\,\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}{\frac {\partial L}{\partial y}}(x,y)\,dy\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\Big \{}L(x,g_{2}(x))-L(x,g_{1}(x)){\Big \}}\,dx.\qquad \mathrm {(3)} \end{aligned}}$

Şimdi (1) denklemindeki çizgi integralini hesaplayalım. C eğrisi 4 eğrinin birleşimi şeklinde yeniden yazılabilir: C₁, C₂, C₃, C₄.

C₁ için x = x, y = g₁(x), a ≤ x ≤ b parametrik denklemleri kullanılabilir. Böylece,

$\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx.$

C₃ için x = x, y = g₂(x), a ≤ x ≤ b parametrik denklemleri kullanılabilir. Böylece,

$\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx.$

C eğrisi saat yönünün tersi yönünde olduğundan ve C₃ b noktasından a noktasına saat yönünde gittiğinden, C₃ üzerindeki integral eksi ile çarpılmıştır. C₂ ve C₄ üzerinde x sabit kalır, ve şu anlama gelir;

$\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx=\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx=0.$

Bu nedenle,

${\begin{aligned}\int _{C}L\,dx&=\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx\\&=-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx+\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx.\qquad \mathrm {(4)} \end{aligned}}$

(3) ile (4) denklemlerini bir araya getirerek (1) denklemini 1. tip bölgeler için elde edebiliriz. Benzer bir yaklaşımla (2) denklemini 2. tip bölgeler için elde edebiliriz. Bu ikisini birleştirerek, 3. tip bölgeler için olan sonucu elde ederiz.  

Stokes teoremi ile ilişkisi

xy-düzlemindeki bir bölgeye uygulandığında, Green teoremi Kelvin-Stokes teoreminin özel bir durumudur.

İki boyutlu alana her zaman sıfıra eşit olan z bileşenini ekleyerek üç boyutlu alanı elde edebiliriz. F için vektör-değerli fonksiyon $\mathbf {F} =(L,M,0)$’i yazalım. Green teoreminin sol tarafıyla başlayalım:

$\oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(L,M,0)\cdot (dx,dy,dz)=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} .$

Kelvin–Stokes Teoremi:

$\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS.$

$S$ yüzeyi $D$ düzleminde birim normal vektörleri $\mathbf {\hat {n}}$ yukarı yönde olan(pozitif z ekseni yönünde) bir bölgedir. Birim normallerinin pozitif z ekseni yönünde olmasının nedeni her iki teoremin tanımlanırının "pozitif yönlendirme" gerektirmesindendir.

İntegralin içerisindeki integral şuna dönüşür;

$\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} =\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial L}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} =\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right).$

Böylelikle Green teoremi’nin sağ tarafını elde ederiz  

Diverjans teoremi ile ilişkisi

Sadece iki boyutlu vektör alanlarını düşünürsek , Green teoremi diverjans teoremi’nin iki boyutlu hâline denktir:

$\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds,$

Burada $\nabla \cdot \mathbf {F}$ iki boyutlu vektör alanı $\mathbf {F}$’te diverjansı ifade eder, ve $\mathbf {\hat {n}}$ sınır üzerinde dışarı-yöndeki birim normal vektörüdür.

Bunu anlamak için, birim normal vektörü olan $\mathbf {\hat {n}}$’ünü eşitliğin sağ tarafında düşünelim. Green teoremi’nde $d\mathbf {r} =(dx,dy)$ vektörü eğri boyunca teğetsel yönde bir vektör olduğundan, ve C eğrisi sınır boyunca pozitif yönde(yani saat yönünün tersi yönünde) olan bir eğri olduğundan, dışarı yönlü bir normal vektörü bu vektörün 90° sağını gösteren bir vektör olur; örnek olarak $(dy,-dx)$ vektörü seçilebilir. Bu vektörün uzunluğu ds ile gösterilirse; ${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds.$ Böylece; $(dy,-dx)=\mathbf {\hat {n}} \,ds.$

Green teoremi’nin sol tarafıyla başlayalım:

$\oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(M,-L)\cdot (dy,-dx)=\oint _{C}(M,-L)\cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds.$

İki-boyutlu diverjans teoremini $\mathbf {F} =(M,-L)$ ile uygulayarak Green teoremi’nin sağ tarafını elde ederiz.

$\oint _{C}(M,-L)\cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds=\iint _{D}\left(\nabla \cdot (M,-L)\right)dA=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA.$ 

$\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA.$

Alan hesabı

Green teoremi çizgi integralleri tarafından alan hesaplama için kullanılabilir. Aşağıdaki ifade D’nin alanını verir:

$A=\iint _{D}dA.$

L’yi ve M’yi aşağıdaki gibi seçmemiz şartıyla;

${\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1.$

Alan aşağıdaki ifade ile bulunabilir:

$A=\oint _{C}(L\,dx+M\,dy).$

Ayrıca aşağıdaki formüller de D’nin alanını veren diğer olası formüllerdir:

$A=\oint _{C}x\,dy=-\oint _{C}y\,dx={\tfrac {1}{2}}\oint _{C}(-y\,dx+x\,dy).$