Foton polarizasyonu

Foton polarizasyonu (foton kutuplanımı) klasik polarize sinüsoidal düzlem elektromanyetik dalgasının kuantum mekaniksel açıklamasıdır. Bireysel foton özdurumları ya sağ ya da sol dairesel polarizasyona sahiptir. Süperpozisyon özdurumu içinde olan bir foton lineer, dairesel veya eliptik polarizasyona sahip olabilir.

Foton polarizasyon açıklaması fiziksel kavramlar ve çok karışık kuantum tanımlarının matematiksel mekanizmaların çoğunu içerir. Potansiyel kuyusunda bulunan bir elektronun kuantum mekaniği ve daha karmaşık kuantum olaylarının temel bir esas olarak anlaşılması buna örneklerdir. Matematik mekaniğinin çoğunu oluşturan durum vektörleri, olasılık genlikleri, üniter operatörler ve Hermityen operatörleri klasik Maxwell denklemleriyle bunu ortaya çıkarır. Foton için kuantum polarizasyon durum vektörü, örneğin, genellikle klasik bir dalganın polarizasyon tanımlamak için kullanılan Jones vektörü ile aynıdır. Üniter operatörler, klasik bir dalganın medya aracılığıyla yayılmasını, bir dalganın polarizasyon durumunu değiştirerek enerji korunumunun klasik gerekliliklerini ortaya çıkarır. Sonra, Hermityen operatörler klasik polarizasyon durumunun sonsuz dönüşümlerini izler.

Matematiksel mekaniklerin gerekliliklerinin birçoğu deneysel bir yolla kolayca doğrulanabilir. Aslında, birçok deney Polaroid gözlüğün iki çifti (ya da bir kırık çift) ile yapılabilir.

Kuantum mekaniği ile bir bağlantı, elektromanyetik alanda bir enerji için foton olarak adlandırılan minimum boyun tanımlanmasıyla yapılır. Kimlik tanımlama Planck teorileri ve Einstein tarafından bu kuramların yorumlanmasına dayanmaktadır. Haberleşme ilkesi daha sonra bir foton ile, devinirlik ve açısal devinirliğin enerjisiyle birlikte tanımlanmasına olanak sağlar.

Klasik elektromanyetik dalgaların polarizasyonu

Polarizasyon durumları

Lineer polarizasyon

Polarizenin çamur düzlüklerinden yansımasına etkisi.İlk resimde, polarize, etkisini en aza indirmek için döndürülür;ikinci resimde onu maksimize etmek için 90 ° döndürülür: hemen hemen tüm yansıyan güneş ışığı elimine edilir.

Faz açıları olan $\alpha _{x}^{}ve\alpha _{y}$ eşitken dalga lineer olarak (ya da düzlem olarak) kutuplaşmıştır.

$\alpha _{x}=\alpha _{y}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \alpha .$

Bu, x eksenine göre $\alpha$ fazında bir dalganın $\theta$ açısıyla kutuplaşmış olduğunu gösterir. Bu durumda Jones vektörü şu şekilde yazılır;

$|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\exp \left(i\alpha \right).$

X veya y eksenindeki lineer polarizasyon için olan durum vektörleri, bu durum vektörünün özel durumlarıdır.

Birim vektörleri şu şekilde tanımlanıyorsa;

$|x\rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

ve

$|y\rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

“x-y esasında” lineer olarak kutuplaşmış polarizasyon durumu şu şekilde yazılabilir;

$|\psi \rangle =\cos \theta \exp \left(i\alpha \right)|x\rangle +\sin \theta \exp \left(i\alpha \right)|y\rangle =\psi _{x}|x\rangle +\psi _{y}|y\rangle .$

Dairesel polarizasyon

Eğer faz açıları olan $\alpha _{x}$ ve $\alpha _{y}$ birbirlerinden tam olarak $\pi /2$ kadar farklılarsa ve x'in genliği y'nin genliğine eşitse, bu dalga dairesel olarak kutuplaşmıştır. Bu durumda Jones vektörü;

$|\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\\pm i\end{pmatrix}}\exp \left(i\alpha _{x}\right)$

artı işareti sağ polarizasyonu, eksi işareti ise sol polarizasyonu gösterir. Dairesel kutuplaşma durumunda, elektrik alan vektörünün sabit büyüklüğü x-y ekseninde döner.

Birim vektörleri şu şekilde tanımlanıyorsa;

$|R\rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}}$

ve

$|L\rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}$

"R-L esasında" gelişigüzel polarizasyon durumu şu şekilde yazılabilir;

$|\psi \rangle =\psi _{R}|R\rangle +\psi _{L}|L\rangle$

Bu yazılımda;

$\psi _{R}=\langle R|\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\cos \theta \exp(i\alpha _{x})-i\sin \theta \exp(i\alpha _{y}))$

ve

$\psi _{L}=\langle L|\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\cos \theta \exp(i\alpha _{x})+i\sin \theta \exp(i\alpha _{y})).$

Bundan dolayı;

$1=|\psi _{R}|^{2}+|\psi _{L}|^{2}.$

Eliptik polarizasyon

Elektrik alanı x-y düzleminde dönen ve değişken büyüklüğe sahip genel duruma eliptik polarizasyon denir. Durum vektörü şu şekilde gösterilir;

$|\psi \rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta \exp \left(i\alpha _{x}\right)\\\sin \theta \exp \left(i\alpha _{y}\right)\end{pmatrix}}.$

Gelişigüzel bir polarizasyon durumunun geometrik olarak görselleştirilmesi

Polarizasyon durumunun nasıl göründüğünü anlamak için polarizasyon durumu $e^{i\omega t}$ faz katsayısıyla çarpılan yörüngesi incelenebilir ve sonra reel kısımları x ve y koordinatlarına göre yorumlanabilir. Bu durum şu şekilde gösterilebilir:

${\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\Re (e^{i\omega t}\psi _{x})\\\Re (e^{i\omega t}\psi _{y})\end{pmatrix}}=\Re \left[e^{i\omega t}{\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}\right]=\Re \left(e^{i\omega t}|\psi \rangle \right).$

Yani, polarizasyon durumu yorumlanırken (x(t), y(t)) 'nin dönüş yönü ve izlediği yol dikkate alınır.

$M(|\psi \rangle )=\left.\left\{{\Big (}x(t),\,y(t){\Big )}\,\right|\,\forall \,t\right\}$

(x(t) ve y(t) yukarıda tanımlandığı gibi.) ve genel olarak daha çok sağ dairesel veya sol dairesel olup olmamasından (bu ya |ψ_R| > |ψ_L| ya da tam tersidir.), fiziksel yorumlanmasının gelişigüzel bir faz katsayısıyla çarpılsa bile aynı olacağını gösterir. Bundan dolayı,

$M(e^{i\alpha }|\psi \rangle )=M(|\psi \rangle ),\ \alpha \in \mathbb {R}$

ve dönüş yönü aynı kalır. Diğer bir deyişle, $|\psi \rangle$ ve $e^{i\alpha }|\psi \rangle$ polarizasyonları arasında faz katsayısı dışında fiziksel bir farklılık yoktur.

Bir doğrusal polarize durum için; x-y düzleminde bulunan, eğimi tan(θ) ve uzunluğu 2 birim ve orta noktası orijin olan M çizgisi görülebilir. Dairesel polarize durumu için, M yarıçapı 1/√2 olan ve orta noktası orijinde bulunan bir çember olur.

Klasik elektromanyetik bir dalganın enerjisi, devinirliği ve açısal devinirliği

Klasik elektromanyetik dalgaların enerji yoğunluğu

Düzlem dalgasının enerjisi

Klasik elektromanyetik alanların birim hacme düşen enerjisi; (cgs birim sistemine göre)

${\mathcal {E}}_{c}={\frac {1}{8\pi }}\left[\mathbf {E} ^{2}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {B} ^{2}(\mathbf {r} ,t)\right].$

Düzlem dalgaları için bu formül;

${\mathcal {E}}_{c}={\frac {\mid \mathbf {E} \mid ^{2}}{8\pi }}$

Enerji, dalganın dalga uzunluğu üstünde ortalanmıştır.

Her bir bileşenin enerji orantısı

Düzlem dalgasının x bileşenine göre enerji orantısı;

$f_{x}={\frac {\mid \mathbf {E} \mid ^{2}\cos ^{2}\theta }{\mid \mathbf {E} \mid ^{2}}}=\psi _{x}^{*}\psi _{x}=\cos ^{2}\theta$

y bileşenine göre aynı gösterim şu şekildedir; $f_{y}=\sin ^{2}\theta$.

İki bileşenin oranı şu şekildedir:

$\psi _{x}^{*}\psi _{x}+\psi _{y}^{*}\psi _{y}=\langle \psi |\psi \rangle =1.$

Klasik elektromanyetik dalgaların devinirlik yoğunluğu

Devinirlik yoğunluğu Poynting vektörü ile verilmiştir.

${\boldsymbol {\mathcal {P}}}={1 \over 4\pi c}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t).$

Z yönünde hareket eden bir sinüzodial düzlem dalgası için, devinirlik z yönündedir ve enerji yoğunluğu ile ilgilidir:

${\mathcal {P}}_{z}c={\mathcal {E}}_{c}.$

Devinirlik yoğunluğu dalga uzunluğu üstünde ortalanmıştır.

Klasik elektromanyetik dalgaların açısal devinirlik yoğunlukları

Elektromanyetik dalgalar hem yörüngesel açısal devinirliğe hem de fırıl açısal devinirliğine sahip olabilir. Toplam açısal devinirlik yoğunluğu ise aşağıdaki gibidir.

${\boldsymbol {\mathcal {L}}}=\mathbf {r} \times {\boldsymbol {\mathcal {P}}}={1 \over 4\pi c}\mathbf {r} \times \left[\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\right].$

$Z$ ekseni boyunca yayılan sinuzoidal düzlem dalgasının açısal devinirlik yoğunluğu kaybolur. Fırıl açısal devinirlik yoğunluğu $z$ eksenindedir ve şu şekildedir;

${\mathcal {L}}={{\mid \mathbf {E} \mid ^{2}} \over {8\pi \omega }}\left(\mid \langle R|\psi \rangle \mid ^{2}-\mid \langle L|\psi \rangle \mid ^{2}\right)={1 \over \omega }{\mathcal {E}}_{c}\left(\mid \psi _{R}\mid ^{2}-\mid \psi _{L}\mid ^{2}\right)$

Yine, yoğunluk dalga boyu üstünde ortalanmıştır.

Optik filtreler ve kristaller

Klasik bir dalganın polaroid filtreden geçişi

Doğrusal Kutuplaşma

Bir lineer filtre bir düzlem dalganın bir bileşeni iletir ve dik bileşeni emer. Bu durumda, eğer filtre x yönünde kutuplaşırsa, filtreden geçen enerjinin oranı aşağıdaki gibidir.

$f_{x}=\psi _{x}^{*}\psi _{x}=\cos ^{2}\theta .\,$

Enerji korunumuna örnek: Klasik bir dalganın çift kırınımlı kristalden geçişi

İdeal bir çift kırınımlı kristal dalga enerjisinin kaybı olmadan bir elektromanyetik dalganın kutuplanım durumunu dönüştürür. Bu nedenle çift kırınımlı kristaller polarizasyon durumlarının korunumlu dönüşümünü incelemek için ideal bir test yatağı sağlar. Bu tedavi hala tamamen klasik olsa da, üniter ve Hermityen operatörler gibi standart kuantum araçları değişmiş durumu zaman içinde doğal olarak ortaya çıkarır.

Başlangıç ve bitiş durumları

Bir "optik eksene" sahip çift kırınımlı kristaller, kutuplu ışık bu optik eksene paralelken dik olduğundan daha farklı kırınım dizinlerine sahiptir. Kutuplu ışığın paralel olduğu eksene "sıra dışı ışınlar" veya "sıra dışı fotonlar", kutuplu ışığın dik olduğu eksenlere de "olağan ışınlar" veya "olağan fotonlar" denir. Eğer doğrusal kutuplaşmış dalgalar kristale çarparsa; dalganın sıra dışı bileşeni, olağan bileşeninden daha farklı bir fazda olan kristalden ortaya çıkar. Matematik dilinde, eğer çarpan dalga doğrusal olarak optik eksene göre $\theta$ açısıyla kutuplaşmışsa, çarpma durum vektörü şu şekilde yazılabilir;

$|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}$

ve ortaya çıkan dalganın durum vektörü şu şekilde yazılabilir;

$|\psi '\rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \exp \left(i\alpha _{x}\right)\\\sin \theta \exp \left(i\alpha _{y}\right)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\exp \left(i\alpha _{x}\right)&0\\0&\exp \left(i\alpha _{y}\right)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\hat {U}}|\psi \rangle .$

Başlangıç durumu doğrusal olarak kutuplaşırken, son durum eliptik olarak kutuplaşır. Çift kırınımlı kristal kutuplaşma karakterini değiştirir.

Son durumun ikilisi

Çift kırılmayı göstermek için yazılı bir kağıt üzerinde bulunan kalsit kristali

Başlangıç kutuplaşma durumu operatör U'yla son duruma dönüşür. Son durumun ikilisi şu şekilde gösterilir;

$\langle \psi '|=\langle \psi |{\hat {U}}^{\dagger }$

$U^{\dagger }$ U'nun bitiştirilmişidir, yani matrisin karmaşık eşlenik devriğidir.

Bütün operatörler ve enerji korunumu

Kristalden çıkan enerji oratısı şu şekildedir;

$\langle \psi '|\psi '\rangle =\langle \psi |{\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}|\psi \rangle =\langle \psi |\psi \rangle =1.$

Bu ideal durumda, bütün kristale çarpan enerjiler kristalden ortaya çıkar. U işlemcisi şu özelliğe sahiptir;

${\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}=I,$

Formüldeki I kimlik operatörüdür, U ise bütün operatörüdür. Bütünlük özelliği enerji korunumunu durum dönüşümlerinde sağlamak açısından gereklidir.

Hermityan işlemcileri ve enerji korunumu

Dixon, New Mexico'dan çifter yansılamlı Kalsit. Bu kristal 16 kilogram ağırlığındadır ve National Museum of Natural History 'de sergilenmektedir.

Eğer kristal çok inceyse, son durum başlangıç durumundan çok az bir farklılık gösterir. Bütün işlemcisi kimlik işlemcisini kapatır.H işlemcisi şu şekilde tanımlanabilir;

${\hat {U}}\approx I+i{\hat {H}}$

ve bitiştirilmişi şu şekildedir;

${\hat {U}}^{\dagger }\approx I-i{\hat {H}}^{\dagger }.$

Enerji korunumu sonrasında şunu gerektirir;

$I={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}\approx \left(I-i{\hat {H}}^{\dagger }\right)\left(I+i{\hat {H}}\right)\approx I-i{\hat {H}}^{\dagger }+i{\hat {H}}.$

Bu ise aşağıdakini gerektirir

${\hat {H}}={\hat {H}}^{\dagger }.$

Bitiştirilmişine eşit olan işlemcilere Hermityan ya da kendinden bitiştirilmiş denir.

Kutuplaşma durumunun mini geçişi şu şekildedir;

$|\psi '\rangle -|\psi \rangle =i{\hat {H}}|\psi \rangle .$

Bu nedenle, enerji korunumu Hermityan işlemcisinde gerçekleşen kutuplaşma durumunda mini geçiş gerektirir.

Fotonlar: Kuantum mekaniği ile bağlantı

Fotonların enerjisi, devinirliği ve açısal devinirliği

Enerji

Bu kısma kadar olan işleyiş klasik fiziğe aittir. Elektrodinamik için olan Maxwell denklemleri, klasik niceliklerin tekrar yorumlanmasıyla kuantum mekaniğine uygulanabilir. Bu tekrar yorumlama Max Planck'in teorilerini baz alarak ve Albert Einstein'ın yorumlamalarını göz önünde bulundurarak olabilir.

Einstein ışılelektrik etkisiyle ilgili ilk deneylerini, elektromanyetik radyasyonun indirgenemez enerji paketlerinden oluştuğunu ve bu enerji paketlerini foton (ışıl) olarak tanımlayarak sonuçlandırmıştır. Her bir paketteki enerji dalganın açısal frekansıyla ilişkilidir. Bu ilişki aşağıdaki gibidir.

$\epsilon =\hbar \omega$

Bu denklemdeki $\hbar$ Planck sabiti olarak tanımlanmıştır.Eğer $N$ adet foton $V$ hacminde bulunuyorsa, elektromanyetik alandaki enerji;

$N\hbar \omega$

ve enerji yoğunluğu;

${N\hbar \omega \over V}$

Bir fotonun enerjisi haberleşme prensibince klasik alanlarla ilgilidir. Haberleşme prensibi çok sayıda foton için kuantum ve klasik fizik yasalarının uymasını gerektirir. Bu nedenle, çok sayıda $N$ için,kuantum enerji yoğunluğu ve klasik enerji yoğunuğu aynı olmalıdır.

${N\hbar \omega \over V}={\mathcal {E}}_{c}={\frac {\mid \mathbf {E} \mid ^{2}}{8\pi }}.$

Öyleyse, kutu içindeki fotonların sayısı;

$N={\frac {V}{8\pi \hbar \omega }}\mid \mathbf {E} \mid ^{2}.$

Devinirlik

Haberleşme yasası ayrıca bir fotonun devinirlik ve açısal devinirliğini belirler. Devinirlik için;

${\mathcal {P}}_{z}={N\hbar \omega \over cV}={N\hbar k_{z} \over V}$

Bu denklemde kz dalga numarasıdır. Bu bir fotonun devinirliğini şu şekilde belirtir;

$p_{z}=\hbar k_{z}.\,$

Açısal devinirlik ve fırıl

Fırıl açısal momentumunda da olduğu gibi;

${\mathcal {L}}={1 \over \omega }{\mathcal {E}}_{c}\left(\mid \psi _{R}\mid ^{2}-\mid \psi _{L}\mid ^{2}\right)={N\hbar \over V}\left(\mid \psi _{R}\mid ^{2}-\mid \psi _{L}\mid ^{2}\right)$

Bu formülde Ec alan gücünü gösterir. Bu denklemden, bir fotonun fırıl açısal devinirliği şu şekilde açıklanır;

$l_{z}=\hbar \left(\mid \psi _{R}\mid ^{2}-\mid \psi _{L}\mid ^{2}\right).$

Fırıl işlemcisi

Fotonun fırılı, fırıl açısal devinirlik hesaplamalarında $\hbar$'ın katsayısı olarak tanımlanmıştır. Eğer bir foton $|R\rangle$ durumunda ise bu fotonun fırılı 1dir ve bu foton $|L\rangle$ durumunda ise fırılı -1dir. Fırıl işlemcisi dış çarpım olarak tanımlanmıştır.

${\hat {S}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ |R\rangle \langle R|-|L\rangle \langle L|={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}.$

Bir fırıl işlemcisinin özvektörleri $|R\rangle$ ve $|L\rangle$'dır ve sırasıyla özdeğerleri 1 ve -1dir.

Bir fotonun fırıl ölçümlerinin beklenen değeri şu şekildedir;

$\langle \psi |{\hat {S}}|\psi \rangle =\mid \psi _{R}\mid ^{2}-\mid \psi _{L}\mid ^{2}.$

İşlemci S gözlenebilir bir nicelik olan fırıl açısal devinirliği ile ilişkilidir. İşlemcinin özdeğerleri gözlenebilir değerlerin bulunmasına yardımcı olur. Bu fırıl açısal momentum için gösterilmiştir fakat genellikle her gözlenebilir nicelik için doğrudur.

Fırıl durumları

Dairesel kutuplaşma durumları şu şekilde yazılabilir;

$|s\rangle$

Bu denklemdeki s=1

$|R\rangle$

ve bu denklemde s= -1

$|L\rangle .\,$

Rastgele durum şu şekilde yazılabilir;

$|\psi \rangle =\sum _{s=-1,1}a_{s}\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle$

Bu denklem için;

$\sum _{s=-1,1}\mid a_{s}\mid ^{2}=1.$

Diferansiyel biçimde fırıl ve açısal momentum işlemcileri

Durum fırıl belirtkesinde yazıldığında, fırıl işlemcisi şu şekilde yazılır;

${\hat {S}}_{d}\rightarrow i{\partial \over \partial \theta }$

${\hat {S}}_{d}^{\dagger }\rightarrow -i{\partial \over \partial \theta }.$

Diferansiyel fırıl işlemcisinin özvektörleri şu şekildedir:

$\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle .$

ve

${\hat {S}}_{d}\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle \rightarrow i{\partial \over \partial \theta }\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle =s\left[\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle \right].$

Fırıl açısal momentum işlemcisi ise şu şekildedir:

${\hat {l}}_{z}=\hbar {\hat {S}}_{d}.$

Kuantum mekaniğinde olasılığın doğası

Tek foton için olasılık

Olasılığın fotonların davranışlarına uygulanabildiği iki yol vardır; olasılık belirli bir durumdaki muhtemel sayıda fotonları hesaplamada kullanılabilir ya da belirli bir durumdaki tek bir fotonun olasılığını hesaplamada kullanılabilir. Eski yorumlama enerji yasasını ihlal ediyordu. Sonraki yorumlamalar ise eğer seçenek sezgisel değilse geçerlidir. Dirac bunu çift-yarık deneylerinin içeriğinde açıklamıştır.

Olasılık genlikleri

Belirli bir kutuplaşma halinde olan bir foton için olasılık klasik Maxwell denklemleri ile hesaplanabilir. Fotonun kutuplaşma durumu alanı ile orantılıdır. Olasılığın kendisi alanlarda ikinci derecedendir ve buna bağlı olarak da kutuplaşma kuantum halinde ikinci derecedendir. Kuantum mekaniğinde, bu nedenle, durum ya da olasılık genliği temel olasılık bilgileri içerir. Genel olarak, olasılık genliklerinin birleştirilmesi için olan kurallar klasik kurallardakine çok benzerdir.

Belirsizlik prensibi

Öklit düzleminde Cauchy-Schwarz eşitsizliği. $\mathbf {V} \cdot \mathbf {W} =\|\mathbf {V} \|\|\mathbf {W} \|\cos a.$ Bu; $\mathbf {V} \cdot \mathbf {W} \leq \|\mathbf {V} \|\|\mathbf {W} \|.$

'dır.

Matematiksel hazırlık

Herhangi bir resmi işlemci için Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin sonucu olan aşağıdaki eşitsizlik doğrudur.

${\frac {1}{4}}|\langle ({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}})x|x\rangle |^{2}\leq \|{\hat {A}}x\|^{2}\|{\hat {B}}x\|^{2}.$

Eğer B A ψ ve A B ψ tanımlanırsa;

$\Delta _{\psi }{\hat {A}}\,\Delta _{\psi }{\hat {B}}\geq {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\right\rangle _{\psi }\right|$

bu denklemde;

$\left\langle {\hat {X}}\right\rangle _{\psi }=\left\langle \psi |{\hat {X}}\psi \right\rangle$

ve

$\Delta _{\psi }{\hat {X}}={\sqrt {\langle {\hat {X}}^{2}\rangle _{\psi }-\langle {\hat {X}}\rangle _{\psi }^{2}}}.$

Bu

$\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}$

A ve B'nin çeviricisi olarak adlandırılır.

Bu tamamiyle matematiksel bir sonuçtur. Hiçbir fiziksel nicelik veya yasayla ilgisi yoktur. Bu sadece durum üzerine etki eden bir işlemcinin belirsizliğinin başka bir işlemcinin belirsizliğiyle çarpımının illaki sıfır olmamasını gösterir.

Açısal devinimin uygulaması

Eğer işlemciyi açısal devinim ve kutuplaşma açısıyla tanımlarsak fizik ile ilişkisini bulabiliriz:

$\Delta _{\psi }{\hat {l}}_{z}\,\Delta _{\psi }{\theta }\geq {\frac {\hbar }{2}},$

bu basitçe açısal devinim ve kutuplaşma açısının sınırsız kesinlik ile eşzamanlı olarak ölçülemeyeceğini gösterir.

Durumlar, olasılık genlikleri, bütün ve Hermityan işlemciler, ve özvektörler

Kuantum mekaniğinin birçok matematiksel aygıtı, kutuplaşmış bir sinüzoidal elektromanyetik dalganın klasik açıklamasında da görünür. Klasik bir dalga için Jones vektör, örneğin, bir foton için kuantum kutuplaşma durum vektörü ile aynıdır. Jones vektörünün sağ ve sol dairesel bileşenleri fotonun fırıl hallerinin olasılık genlikleri olarak yorumlanabilir. Enerji korunumu durumların üniter işlemciyle donüşmesini gerektirir. Bu, son derece küçük dönüşümler Hermityen işlemcileriyle dönüşenilir demektir. Bu sonuçlar, klasik dalgalar için Maxwell denklemlerinin yapısının doğal bir sonucu olduğunu gösterir.

Gözlenen nicelikler ölçüldüğünde ve sürekli olmak yerine ayrık olduğunda, kuantum mekaniği devreye girer. Izin verilen gözlemlenebilir değerleri işlemcilerin özdeğerlerinin gözlenebilirle ilişkisinde bulunabilir. Açısal devinim durumunda, örneğin, izin verilen gözlemlenebilir değerler spin işlemcisinin özdeğerleridir.

Bu kavramlar Maxwell denklemleri ve Planck ile Einstein'ın teorilerinden ortaya çıkmıştır ve başka fizik sistemlerinde de doğru bulunmuşlardır. Aslında, tipik program, bu bölümün kavramlarını varsaymak ve daha sonra fiziksel bir sistemin bilinmeyen dinamiklerini anlaması içindir. Bu, elektron hareketliliği için uygulandı. Bu durumda, bu bölümdeki esaslara tekrar baktığımızda, Schrödinger'in denklemine katkıda bulunduğunu görürüz. Atomlar için bu denklemin çözümü, atom spektrumları için Balmer serisine açıklama getirdi ve dolayısıyla atom fiziği ve kimya için birer temel oluşturmuş oldu.

Bu Maxwell denklemlerinin Newton mekaniğinin yeniden bir yapılandırmaya zorlamasının tek nedeni değildir. Maxwell denklemleri izafi olarak tutarlıdır. Özel görelilik Maxwell denklemlerinin klasik mekaniği tutarlı yapmak için girdiği girişimlerin sonucudur.