Faxén yasası

Akışkanlar dinamiğinde, Faxén yasası düşük Reynolds sayısı (sürünen akış) koşulları altında bir kürenin karşılaştığı kuvvetlere, torka, strese ve akışa göre bir kürenin hızı $\mathbf {U}$ ve açısal hızı $\mathbf {\Omega }$ ile ilişkilendirir.

İlk yasa

Faxen'ın ilk yasası 1922'de İsveç fizikçi Hilding Faxen tarafından tanıtılmıştır ve yasanın ismine de adını vermiştir, o dönemde Uppsala Üniversitesinde çalışmaktaydı.$\mathbf {F} =6\pi \mu a\left[\left(1+{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\right)\mathbf {u} '-(\mathbf {U} -\mathbf {u} ^{\infty })\right],$ where

• $\mathbf {F}$ Sıvının küreye uyguladığı kuvvettir.
• $\mu$ Kürenin yerleştirildiği solventin Newton viskozitesidir.
• $a$ Kürenin yarıçapıdır
• $\mathbf {U}$ Kürenin (translasyonel) hızıdır.
• $\mathbf {u} '$ Küre merkezinde ölçülen süspansiyondaki diğer kürelerin neden olduğu bozucu hızdır. (Arka plandan etkilenen akış tarafından değil.)
• $\mathbf {u} ^{\infty }$ Küre merkezinde ölçülen, arka planda etkilenen akıştır. (Bazı referanslarda sıfır kabul edilir).

Ayrıca bu formda da yazılabilir

$\mathbf {U} -\mathbf {u} ^{\infty }=\mathbf {u} '+b_{0}\mathbf {F} +{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\mathbf {u} ',$

$b_{0}=-{\frac {1}{6\pi \mu a}}$ hareketliliktir.

Basıncın akış hızının küre çapının uzunluk ölçeğine kıyasla küçük olması durumunda ve dış güç olmadığında, bu formun son iki terimi ihmal edilebilir. Bu durumda harici akışkanın akışı basitçe küreyi geliştirir.

İkinci yasa

Faxen'in ikinci yasası,$\mathbf {T} =8\pi \mu a^{3}\left[{\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {u} '\right)-(\mathbf {\Omega } -\mathbf {\Omega } ^{\infty })\right],$

• $\mathbf {T}$ akışkan tarafından küre üzerinde uygulanan tork.
• $\mathbf {\Omega }$ kürenin açısal hızıdır
• $\mathbf {\Omega } ^{\infty }$ Küre merkezinde değerlendirilen arka plan akışının açısal hızıdır (bazı kaynaklarda sıfır alınır).

'Üçüncü yasa'

Batchelor ve Yeşil Stres için bir denklik türetti, ismini'den aldı.

${\boldsymbol {\mathsf {S}}}={\frac {10}{3}}\pi \mu a^{3}\left[2{\boldsymbol {\mathsf {E}}}^{\infty }+\left(1+{\frac {1}{10}}a^{2}\nabla ^{2}\right)\left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} '+({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ')^{\mathrm {T} }\right)\right],$

• ${\boldsymbol {\mathsf {S}}}$ akışkan tarafından küre üzerine uygulanan gerilme kuvveti (ilk kuvvet momentinin simetrik kısmıdır),
• ${\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} '$ hız gradiyent tensörü; ${}^{\mathrm {T} }$ transpozeri temsil eder; ve so ${\frac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} '+({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ')^{\mathrm {T} }\right]$ gerilme veya deformasyon hızı tensörüdür.
• ${\boldsymbol {\mathsf {E}}}^{\infty }={\frac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ^{\infty }+({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ^{\infty })^{\mathrm {T} }\right]$ Küre merkezinde değerlendirilen arka plan akışının gerilme oranıdır (bazı kaynaklarda sıfır kabul edilir).

Kürede hiçbir gerilme oranı olmadığına dikkat edin (no ${\boldsymbol {\mathsf {E}}}$) çünkü küreler katı ve sert olarak kabul edilir.

Faxén'in yasası, küresel nesnelerin viskoz sıvı üzerindeki sürtünmesini açıklayan Stokes yasasının düzeltilmiş halidir, nesnenin konteynerin bir duvarına yaklaştığı yerde geçerlidir.

Kaynakça

• Faxén, H. (1922), "Der Widerstand gegen die Bewegung einer starren Kugel in einer zähen Flüssigkeit, die zwischen zwei parallelen ebenen Wänden eingeschlossen ist", Annalen der Physik, 373 (10), ss. 89-119, doi:10.1002/andp.19223731003 
• Happel, J.; Brenner, H. (1991), Low Reynolds Number Hydrodynamics, Dordrecht: Kluwer