Episikloid

Geometride, bir episikloid (ayrıca hipersikloid olarak da adlandırılır), sabit bir çemberin etrafında kaymadan yuvarlanan bir çemberin çevresi üzerinde seçilen bir noktanın yolunu izleyerek üretilen bir düzlem eğrisidir -buna episikl (epicycle) denir. Bu, yuvarlanma eğrisinin özel bir türüdür.

Kırmızı eğri, küçük çemberin (yarıçap r = 1) büyük çemberin (yarıçap R = 3) dışında yuvarlanmasıyla izlenen bir episikloiddir.

Küçük yarıçapı (R2) 0 olan bir episikloid bir çemberdir. Bu, eğrinin dejenere bir formudur.

Denklemler

Eğer küçük çemberin yarıçapı r ve büyük çemberin yarıçapı R = kr ise, o zaman eğri için parametrik denklemler her iki şekilde de verilebilir:

${\begin{aligned}&x(\theta )=(R+r)\cos \theta \ -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)\\&y(\theta )=(R+r)\sin \theta \ -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)\end{aligned}}$

veya:

${\begin{aligned}&x(\theta )=r(k+1)\cos \theta -r\cos \left((k+1)\theta \right)\\&y(\theta )=r(k+1)\sin \theta -r\sin \left((k+1)\theta \right)\end{aligned}}$

Daha özlü ve karmaşık bir biçimde

$z(\theta )=r\left((k+1)e^{i\theta }-e^{i(k+1)\theta }\right)$

burada;

• θ açısı devirler halindedir: $\theta \in [0,2\pi ].$
• r: daha küçük çemberin yarıçapı
• kr: daha büyük çemberin yarıçapı

Alan

(Başlangıç noktasının büyük çember üzerinde olduğu varsayılırsa.) k pozitif bir tam sayı olduğunda, bu episikloidin alanı;

$A=(k+1)(k+2)\pi r^{2}.$

Bu, episikloidin orijinal sabit çemberden ${\frac {(k+1)(k+2)}{k^{2}}}$ kat daha büyük olduğu anlamına gelir.

Eğer k pozitif bir tam sayı ise, o zaman eğri kapalıdır ve k tane köşe noktasına (yani keskin köşelere) sahiptir.

Eğer k bir rasyonel sayı ise, örneğin k = p / q indirgenemez kesir olarak ifade edilirse, eğri p tepe noktasına sahiptir.

Eğriyi kapatmak ve 1. tekrarlayan deseni tamamlamak için:

θ = 0'dan q'ya kadar döngü

α = 0'dan p'ya kadar döngü

dış yuvarlanma çemberinin toplam döngüsü = p + q döngüdür.

p ve q'yu görmek için animasyon döngülerini sayın.

Eğer k bir irrasyonel sayı ise, eğri asla kapanmaz ve büyük çember ile R + 2r yarıçaplı bir çember arasındaki uzayın yoğun alt kümesini oluşturur.

OP (x = 0, y = 0) orijininden (küçük çember üzerindeki p noktasına) olan mesafe yukarı ve aşağı şu şekilde değişir;

$R\leq {\overline {OP}}\leq R+2r$

burada

• R = büyük çemberin yarıçapı ve
• 2r = küçük çemberin çapıdır.

• Episikloid örnekleri
• 
  k = 1; bir kardioid
• 
  k = 2; bir nefroid
• 
  k = 3; bir trefoiloid
• 
  k = 4; bir quatrefoiloid
• 
  k = 2,1 = 21/10
• 
  k = 3,8 = 19/5
• 
  k = 5,5 = 11/2
• 
  k = 7,2 = 36/5

Episikloid, epitrokoidin özel bir türüdür.

Bir tepe noktası olan episikloid kardioid, iki tepe noktası olan ise nefroiddir.

Bir episikloid ve onun eğeci (evolütü) benzerdir.

İspat

İspat için taslak çizim

Çözmek istediğimiz şeyin $p$ konumu olduğunu, $\alpha$'nın teğet noktadan hareketli $p$ noktasına olan açı olduğunu ve $\theta$'nın başlangıç noktasından teğet noktaya olan açı olduğunu varsayıyoruz.

İki döngü arasında kayma olmadığına göre, o zaman şunu elde ederiz;

$\ell _{R}=\ell _{r}$

Açının tanımına göre (yarıçap üzerindeki yay oranıdır), o zaman şunu elde ederiz;

$\ell _{R}=\theta R$

ve

$\ell _{r}=\alpha r$

Bu iki koşuldan şu özdeşliği elde ederiz;

$\theta R=\alpha r$.

Buradan, $\alpha$ ve $\theta$ arasındaki ilişkiyi şu şekilde elde ederiz;

$\alpha ={\frac {R}{r}}\theta$.

Şekilden, $p$ noktasının küçük çember üzerindeki konumunu açıkça görüyoruz.

$x=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)$

$y=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)$

Ayrıca bakınız

turtle kütüphanesi ile MSWLogo'da yapılmış bir animasyon (Kardioid)

• Periyodik fonksiyonlar listesi
• Sikloid
• Siklogon
• Taşıyıcı ve episikl
• Episiklik dişli
• Epitrokoid
• Hiposikloid
• Hipotrokoid
• Multibrot seti
• Yuvarlanma eğrisi
• Spirograf

Kaynakça

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. ss. 161,168-170,175. ISBN 978-0-486-60288-2. 

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Epicycloid (MathWorld)
• "Epicycloid" by Michael Ford, The Wolfram Demonstrations Project, 2007
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Epicycloid", MacTutor Matematik Tarihi arşivi 
• Animation of Epicycloids, Pericycloids and Hypocycloids
• Spirograph -- GeoFun
• Historical note on the application of the epicycloid to the form of Gear Teeth