Diferansiyel kalkülüs

Matematikte diferansiyel kalkülüs, fonksiyonların girdileri değiştikçe nasıl değiştiklerini konu alan bir kalkülüs alanıdır. Diferansiyel kalkülüsteki ana inceleme nesnesi türevdir. Oldukça yakından ilişkili diğer bir kavram da türetke ya da diferansiyeldir. Bir fonksiyonun, seçilmiş belirli bir girdi değerindeki türevi, fonksiyonun o girdi değeri yakınındaki davranışını tanımlar. Genel olarak, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevi, fonksiyona o noktadaki en iyi doğrusal yaklaşımı belirler. Türev bulma işlemine "türev almak" (İngilizce: diferansiyasyon) denir. Kalkülüsün temel teoremi gereğince, türev alma işlemi integral alma işleminin tersidir.

Türevin ve doğal olarak diferansiyel kalkülüsün tüm sayısal disiplinlerde uygulamalarını görmek mümkündür. Örneğin, fizikte hareket halindeki bir cismin yerdeğişiminin, zamana göre türevi, hız; hızın zamana göre türevi ise ivmedir.

Türevler bir fonksiyonun maksimum ve minimumlarını bulmakta da kullanılırlar. Türev barındıran denklemlere diferansiyel denklemler denir ve bu denklemler doğal fenomenlerin tanımlanması açısından temel bir öneme sahiptirler. Türevler ve bunların genelleştirmeleri matematiğin her alanında görülebilir; karmaşık analizden, fonksiyonel analize, diferansiyel geometriden soyut cebire kadar.

Türev alma kuralları

Yukarıda da değinildiği gibi türev alma, integralin tersidir ve aşağıdaki matematiksel kurallar geçerlidir.

1. Sabit fonksiyonların türevi sıfırdır.

ör: f(x) = 3, f'(x) = 0

2. Üstel fonksiyonların türevi aşağıdaki şekilde alınır.

(f(x) ^ n)' = n f(x) ^ (n-1) ör: (f^3)' = 3·f²

3. Herhangi bir sabit sayı ile çarpma türevi değiştirmez

ör: (a · f(x))' = a·f'(x)

4. Toplama ve çıkarma işlemi türevi değiştirmez

ör: (f(x) ± h(x) )' = f'(x) ± h'(x)

5. iki fonksiyonun çarpımının türevi aşağıdaki şekilde alınır:

(f·g)' = f'·g + f·g'

ör: f(x) = m² ve g(x) = 3x

(f·g) = 6·x·m + 3·m²

6. İki fonksiyonun bölümünün türevi aşağıdaki şekilde alınır:

(f/g)' = (f'·g - g'·f)/(g²)

ör: f(x) = m² ve g(x) = 3x için

(f/g)' = (f'·g - g'·f)/(g²) = (6·m·x - 3·m²) / (9·x²)

7. Zincir kuralı

(f o g)'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)

ör: f(x) = 3x ve g(x) = x²

(f o g)'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x) = 3·x² ·2x = 6·x³

7. Ters fonksiyonun türevini alma metodu şu şekildedir.

f(x) = y olsun. Eğer f, x noktasında tersi alınabilen bir fonksiyon ise ve f'(x) ≠ 0 ise o zaman aşağıdaki kural geçerlidir

(f^(-1))' (y) = 1 / f'(x)

ör: f(x) = 3x ise (f^(-1))(y) = f(x) / 3 olur.

(f^(-1))' (y) = 1 / f'(x) = 1/3 tür