Cauchy tekrarlı integrasyon formülü

Adını Augustin-Louis Cauchy'den alan tekrarlı entegrasyon için Cauchy formülü, bir fonksiyonun n antitürevini tek bir integrale sıkıştırmaya izin verir. Formülün tam sayılardan reel sayılara genişletilmesiyle tam sayı olmayan kere integral alma olanağı verdiğinden kesirli analiz için önemlidir

Skaler durum

f, gerçel sayılar doğrusu üzerinde sürekli bir fonksiyon olsun. O halde f fonksiyonunun (eğer f(a)=0 ise) n. mertebe integrali,

$f^{(-n)}(x)=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})\,\mathrm {d} \sigma _{n}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}$

şu şekilde tek bir integrale dönüştürülebilir:

$f^{(-n)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.$

İspat

Tümevarım yoluyla bir kanıt verilir. Temel durum n=1 için doğruluk açıktır, çünkü şuna eşdeğerdir:$f^{(-1)}(x)={\frac {1}{0!}}\int _{a}^{x}{(x-t)^{0}}f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$

Şimdi bunun n için doğru olduğunu varsaydığımızda n+1 için de doğru olacağını ispatlayalım. İlk olarak Leibniz integral kuralını uygularsak,${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.$

Ardından, tümevarım hipotezini uygulayarak,

${\begin{aligned}f^{-(n+1)}(x)&=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \sigma _{1}}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}$

Böylece ispat tamamlanmış olur.

Genellemeler ve uygulamalar

Cauchy formülü tam sayı olmayan parametrelere genişletilerek Riemann-Liouville integrali elde edilir. burada $n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}$ ifadesi $\alpha \in \mathbb {C} ,\ \Re (\alpha )>0$ ile değiştirilir ve faktöriyel, gama fonksiyonu ile değiştirilir.

Kesirli analizde bu formül diferintegral oluşturmak için kullanılır. Bu, herhangi bir mertebede türev veya integral almak için kullanılabilen bir operatördür.