Carnot teoremi (dikmeler)

Adını Fransız matematikçi Lazare Carnot'dan alan Carnot teoremi, üçgenin (uzatılmış) kenarlarına dik olan üç doğrunun ortak bir kesişme noktası için gerek ve yeter koşulu tanımlar. Teorem ayrıca Pisagor teoreminin bir genellemesi olarak düşünülebilir.

Üçgenin kenarlarındaki dikmeler için Carnot teoremi:
mavi alan = kırmızı alan

Teoremin açıklaması

Kenarları $a,b,c$ olan bir $\triangle ABC$ üçgeni için, üçgenin kenarlarına dik olan ve ortak bir $F$ noktasında kesişen üç doğru düşünün. Eğer $P_{a},P_{b},P_{c}$ $a,b,c$ kenarları üzerindeki bu üç dikmenin ayak noktaları ise, ardından aşağıdaki denklem geçerli olur:

$|AP_{c}|^{2}+|BP_{a}|^{2}+|CP_{b}|^{2}=|BP_{c}|^{2}+|CP_{a}|^{2}+|AP_{b}|^{2}$

Yukarıdaki ifadenin tersi de doğrudur, yani bir üçgenin üç kenarındaki üç dikmenin ayak noktaları için denklem geçerliyse, o zaman bu dikmeler ortak bir noktada kesişirler. Bu nedenle denklem, gerekli ve yeterli bir koşulu sağlar.

Özel durumlar

Eğer $\triangle ABC$ üçgeni $C$ noktasında bir dik açıya sahipse ve kesişme noktası $F$, $A$ veya $B$ üzerinde bulunuyorsa, yukarıdaki denklem Pisagor teoremini verir. Örneğin eğer $F$ noktası, $A$ ile çakışırsa bu, $|AP_{b}|=0$, $|AP_{c}|=0$, $|CP_{a}|=0$, $|CP_{b}|=b$, $|BP_{a}|=a$ ve $|BP_{c}|=c$ olduğu sonucunu doğurur. Bu nedenle, yukarıdaki denklem $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ haline yani Pisagor teoremine dönüşür.

Diğer bir sonuç, bir üçgenin dik açıortaylarının ortak bir noktada kesişme özelliğidir. Dikey açı ortaylar söz konusu olduğunda $|AP_{c}|=|BP_{c}|$, $|BP_{a}|=|CP_{a}|$ ve $|CP_{b}|=|AP_{b}|$ olur ve bu nedenle yukarıdaki denklem geçerlidir. Bu, üç dikey açıortayın da aynı noktada kesiştiği anlamına gelir.

İspat

Carnot teoreminin ispatı

Şekilden görülebileceği gibi dik açıortayların ayakları $A_{a},B_{b},C_{c}$ olarak gösterilsin.

Carnot Teoremi, aşağıdaki ifade doğrulandığında istenen tutarlılığı garanti eder.

$\left(\;|AC_{c}|^{2}-|BC_{c}|^{2}\;\right)+\left(\;|BA_{a}|^{2}-|CA_{a}|^{2}\;\right)+\left(\;|CB_{b}|^{2}-|AB_{b}|^{2}\;\right){\stackrel {?}{=}}\ 0\qquad (\star )$

Öncelikle $(\star )$ ifadesinin ilk kısmını ele alalım:

$|AC_{c}|^{2}-|BC_{c}|^{2}=\left(\;|AC_{c}|+|BC_{c}|\;\right)\left(\;|AC_{c}|-|BC_{c}|\;\right)=|AB|\;\left(\;|AC_{c}|-|BC_{c}|\;\right)$

$|AC_{c}|={\frac {1}{2}}(\;|AA_{c}|+|AB_{c}|\;)={\frac {1}{2}}(\;|AA_{c}|+|AB|-|BB_{c}|\;)$

$|BC_{c}|={\frac {1}{2}}(\;|BB_{c}|+|AB|-|AA_{c}|\;)$

olduğundan, yukarıdaki ifade,

$|AC_{c}|^{2}-|BC_{c}|^{2}=|AB|\;\left(\;|AA_{c}|-|BB_{c}|\;\right)$

şeklinde yazılabilir. Aynı şekilde,

$|BA_{a}|^{2}-|CA_{a}|^{2}=|BC|\;\left(\;|BB_{a}|-|CC_{a}|\;\right)$

$|CB_{b}|^{2}-|AB_{b}|^{2}=|CA|\;\left(\;|CC_{b}|-|AA_{b}|\;\right)$

Bu nedenle, $(\star )$ aşağıdaki ifadeye dönüşür:

$|AB||AA_{c}|+|BC||BB_{a}|+|CA||CC_{b}|{\stackrel {?}{=}}|BA||BB_{c}|+|CB||CC_{a}|+|AC||AA_{b}|\qquad (\star \star )$

sağ tarafta "$|AB|$" yerine "$|BA|$" yazılması, vb. gibi değişiklerle ve aşağıdaki ifadeden faydalanırsak:

“	"Noktanın Kuvveti" teoremi, $P$ noktasından geçen bir doğru $Q$ ve $R$ noktalarında $K$ çemberi ile karşılaşırsa $|PQ||QR|$ $Q$ ve $R$'ye değil, yalnızca $P$ ve $K$'ye bağlı bir değerdir. Bu değer, $P$'nin $K$'ye göre kuvveti olarak adlandırılır.	„

$(\star \star )$ ifadesinde, $|AB||AA_{c}|$ teriminin değeri $K_{A}$'ya göre $A$ noktasının kuvvetidir; ama $|AC||AA_{b}|$ değeri de öyledir. Bu nedenle her iki terim iptal edilir. Benzer şekilde, $|BC||BB_{a}|=|BA||BB_{c}|$ ($B$'nin $K_{B}$'ye göre kuvveti) ve $|CA||CC_{b}|=|CB||CC_{a}|$ ($C$'nin $K_{C}$'ye göre kuvveti). Tüm terimler birbirini götürür, böylece Carnot Teoremine ulaşılır: şekildeki doğrular tek noktada kesişir.

Kaynakça

• Wohlgemuth, Martin, (Ed.) (2010). Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger : Weitere beliebte Beiträge von Matroids Matheplanet (Almanca). Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag. ss. 273-276. ISBN 9783827426079. OCLC 699828882. 
• Alfred S. Posamentier & Charles T. Salkind (1996). Challenging problems in geometry (İngilizce). New York: Dover. ss. 85-86. ISBN 9780486134864. OCLC 829151719. 

Dış bağlantılar

• Florian Modler: Vergessene Sätze am Dreieck - Der Satz von Carnot 6 Nisan 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. @ Matheplanet.com (Almanca)
• Carnot's Theorem 6 Ağustos 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. @ cut-the-knot.org
• Carnot's Theorem 16 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. @ artofproblemsolving

Konuyla ilgili yayınlar

• Prof. Ion Pătrașcu, The Dual of the Orthopole Theorem, Makale 10 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Oğuzhan Demirel & Emine Soytürk, (2008), The Hyperbolic Carnot Theorem in the Poincare Disc Model of Hyperbolic Geometry, Novi Sad J. Math., Vol. 38, No. 2, ss. 33-39, Makale 10 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.