Çizilebilir sayı

Çizilebilir sayı terimi, geometri ve cebirde kullanılır ve bir reel sayı $r$'nin, belirli koşullar altında bir çizgi olarak çizilebilip çizilemeyeceğini ifade eder. Eğer birim uzunlukta herhangi çizgiyi kullanarak, sadece pergel ve cetvel yardımıyla ve belirli sayıda adımda, r uzunluğunda bir başka çizgi çizebilirse, bu durumda r sayısı çizilebilir bir sayıdır. Başka bir deyişle, r sayısını, sadece tam sayıları ve temel matematik işlemleri (toplama, çıkarma, çarpma, bölme) ile karekök alma işlemini kullanarak açık bir şekilde ifade edebiliyorsa, r sayısı çizilebilir kabul edilir.

Karekök 2, 1 uzunluğunda iki dik kenarı olan bir dik üçgenin hipotenüsünün uzunluğuna eşittir ve bu nedenle bir çizilebilir sayıdır.

Çizilebilir sayılar kavramı, geometri ve cebirde önemli bir yere sahiptir ve bu kavramla yakından ilgili olan çizilebilir noktalar, geometrik ve cebirsel yöntemlerle tanımlanabilir. Bir noktanın çizilebilir olarak kabul edilebilmesi için, önceden belirlenmiş birim uzunluktaki bir çizginin başlangıcından, pergel ve cetvel kullanarak ulaşılabilecek bir konumda olması gerekir. Bu, bir çizginin sonu, iki çizginin veya iki çemberin kesişme noktası gibi belirli bir noktaya işaret eder. Ayrıca, bir noktanın çizilebilir olması, bu noktanın Kartezyen koordinatlarının her ikisinin de çizilebilir sayılar olmasını gerektirir. Burada bir segmentin başlangıç ve bitiş noktaları, bir Kartezyen koordinat sisteminde sırasıyla (0, 0) ve (1, 0) olarak düşünülür. Çizilebilir sayılar ve noktalar, diğer yöntemlerle elde edilen sayı ve noktalardan farklılaştırılmak amacıyla bazen cetvel ve pergel sayıları ve cetvel ve pergel noktaları olarak adlandırılır. Bu tanımlamalar, geometri ve cebirdeki çeşitli problemlerin çözümünde temel oluşturur.

Çizilebilir sayıların oluşturduğu küme, bir alanı teşkil eder: Bu kümedeki elemanlara uygulanan dört temel aritmetik işlemin her biri, yine bir çizilebilir sayının elde edilmesini sağlar. Bu alan, rasyonel sayılar üzerine bir alan genişlemesi olarak işlev görür ve bu yapı, cebirsel sayılar alanının bir alt kümesi olarak kabul edilir. Rasyonel sayıların Euklidyen kapanışı olarak tanımlanan bu alan, rasyonel sayılardan türeyen ve pozitif elemanlarının tümünün kareköklerini barındıran en minimal alan genişlemesidir.

Çizilebilir sayıların cebirsel ve geometrik tanımlamalarının eşdeğerliğini ispatlama süreci, antik Yunan matematiğine ait birkaç ünlü problemin de içinde bulunduğu, pergel ve cetvel kullanılarak oluşturulan geometrik soruların, cebirsel bir çerçeveye dönüştürülmesine olanak tanır. Bu soruların cebirsel olarak ifade edilmesi, geometrik olarak formüle edilen ve yüzyıllarca çözüme direnç göstermiş aynı problemlerin, çizilebilir olmadıklarına dair ispatların ortaya konulmasını sağlamıştır.

Geometrik tanımlamalar

Geometrik olarak çizilebilir noktalar

Öklidyen düzlemde yer alan $O$ ve $A$ isimli iki ayrı nokta verildiğinde, bu noktaları başlangıç kabul ederek pergel ve cetvel ile çizilebilen noktaların oluşturduğu küme $S$ olarak tanımlanmaktadır. Bu bağlamda, $S$ kümesine ait noktalar çizilebilir noktalar olarak isimlendirilir. $O$ ve $A$ noktaları, bu tanım çerçevesinde, $S$ kümesinin doğal üyeleridir. $S$ kümesindeki diğer elemanları daha detaylı bir şekilde tanımlamak amacıyla, aşağıdaki iki tanım kullanılmaktadır:

• Uç noktaları $S$ kümesine dahil olan doğru parçasına, çizilebilir doğru parçası denir ve
• Merkezi $S$ içerisinde yer alan ve bir $S$ noktasından geçen (ya da alternatif bir ifadeyle, yarıçapı $S$ kümesindeki iki ayrı nokta arasındaki mesafe olan) çembere, çizilebilir çember adı verilir.

Buna göre, $O$ ve $A$ haricindeki $S$ noktaları aşağıdakileri içerir:

• İki paralel olmayan çizilmiş doğru parçasının veya bu parçalar üzerinden çizilen doğruların kesişme noktaları,
• Bir çizilebilir çember ile çizilmiş bir doğru parçasının veya bu parça üzerinden çizilen bir doğrunun kesişim noktaları,
• İki ayrı çizilebilir çemberin kesişim noktaları.

Örneğin, çizilmiş $OA$ doğru parçasının orta noktası bir çizilebilir noktadır. Bunun için bir yöntem, $OA$ yarıçapı ile iki çember çizmek ve bu iki çemberin kesişme noktalarından geçen bir çizgi çizmektir. O zaman $OA$ segmentinin orta noktası, bu çizilmiş çizginin segmenti kestiği noktadır.

Geometrik olarak çizilebilir sayılar

Geometrik formülasyona ilişkin başlangıç verisi, $O$ noktasının orijin olarak $(0,0)$ koordinatları ile ve $A$ noktasının $(1,0)$ koordinatları ile ilişkilendirildiği bir Kartezyen koordinat sisteminin tanımlanmasını sağlar. Artık, $S$ noktaları, çizilebilir bir noktanın koordinatı olarak tanımlanan bir çizilebilir sayının geometri ile cebir arasında bir bağ kurulmasını mümkün kılar.

Çizilebilir bir sayının eşdeğer tanımları arasında, bir çizilebilir noktanın $x$-koordinatı olan $(x,0)$ veya çizilebilir bir doğru parçasının uzunluğu bulunmaktadır. Bu eşitliğin bir yönünde, eğer bir çizilebilir noktanın koordinatları $(x,y)$ ise, $(x,0)$ noktası, $x$-eksenine dik bir projeksiyon olarak çizilebilir ve orijinden bu noktaya kadar olan mesafe $x$ uzunluğundadır. Tersi durumda, eğer $x$ bir çizilebilir doğru parçasının uzunluğu ise, $x$ yarıçapı ve $O$ merkezi ile tanımlanan bir çemberin $x$-ekseni ile kesişimi $(x,0)$ noktasını sağlar. Bu eşitlikten yola çıkarak, Kartezyen koordinatları geometrik olarak çizilebilir sayılar olan her noktanın, kendisinin de geometrik olarak çizilebilir bir nokta olduğu anlaşılmaktadır. Zira, $x$ ve $y$ geometrik olarak çizilebilir sayılar olduğunda, $(x,y)$ noktası, koordinat eksenlerine dik $(x,0)$ ve $(0,y)$ noktalarından geçen doğruların kesişimi ile oluşturulabilir.

Cebirsel tanımlar

Cebirsel olarak çizilebilir reel sayılar

Cebirsel olarak çizilebilir reel sayılar, toplama, çıkarma, çarpma, çarpmaya göre ters işlem ve pozitif sayıların kareköklerinin kullanımıyla tam sayıların kombinasyonunu içeren formüller aracılığıyla ifade edilebilen reel sayıların bir alt kümesini temsil eder. Bu formüllerin yapısal karmaşıklığını artırarak daha da sadeleştirilebilir şekilde, söz konusu formüllerdeki tam sayılar yalnızca 0 ve 1 olarak kısıtlanabilir. Mesela, 2'nin karekökü çizilebilir olarak kabul edilir, zira bu, ${\sqrt {2}}$ veya ${\sqrt {1+1}}$ gibi formüllerle ifade edilebilir.

Benzer bir biçimde, cebirsel olarak çizilebilir karmaşık sayılar, pozitif sayılarla sınırlı olmayan ve rastgele karmaşık sayıları argüman olarak kabul edebilen, argümanının ana karekökünü hesaplayan genelleştirilmiş bir karekök işlemi kullanılarak ifade edilebilen karmaşık sayıların bir alt kümesini oluşturur. Bu kapsamda, gerçek ve sanal kısımları her ikisi de çizilebilir reel sayılar olan karmaşık sayılar da, aynı karmaşık sayılar sisteminin bir parçası olarak tanımlanabilir. Mesela, $i$ karmaşık sayısı için ${\sqrt {-1}}$ veya ${\sqrt {0-1}}$ gibi formüller geçerlidir ve bu sayının gerçek ve sanal kısımları sırasıyla çizilebilir sayılar olan 0 ve 1 değerlerindedir.

Bu iki çizilebilir karmaşık sayılar tanımı eşdeğerdir. Bir bakış açısından, eğer $q=x+iy$ formülüyle ifade edilen bir karmaşık sayının reel ve sanal bileşenleri $x$ ve $y$, çizilebilir reel sayılar kategorisinde ise, bu bileşenlerin formülleri $x+y{\sqrt {-1}}$ genel formülü içerisine yerleştirilerek $q$ karmaşık sayısının bir formülü türetilebilir. Diğer yandan, cebirsel olarak çizilebilir bir karmaşık sayı için var olan herhangi bir formül, söz konusu formüldeki her işlemin reel ve sanal kısımlar üzerindeki işlemlere dönüştürülmesi ile, bu sayının reel ve sanal parçaları için formüllere çevrilebilir. Bu dönüşüm için aşağıdaki genişletmeler kullanılır:

• $(a+ib)\pm (c+id)=(a\pm c)+i(b\pm d)$
• $(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$
• ${\frac {1}{a+ib}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}+i{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}$
• ${\sqrt {a+ib}}={\frac {(a+r){\sqrt {r}}}{s}}+i{\frac {b{\sqrt {r}}}{s}}$, burada $r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ ve $s={\sqrt {(a+r)^{2}+b^{2}}}$ olarak ifade edilir.

Cebirsel olarak çizilebilir noktalar

Cebirsel olarak çizilebilir noktalar, her iki reel Kartezyen koordinatı da cebirsel olarak çizilebilir reel sayılar olan noktalar olarak ifade edilebilir. Diğer bir deyişle, cebirsel olarak çizilebilir karmaşık sayılarla tanımlanan karmaşık düzlemdeki noktalar şeklinde de tanımlanabilirler. Cebirsel olarak çizilebilir karmaşık sayılarla ilgili iki tanım arasındaki eşdeğerlik dikkate alındığında, cebirsel olarak çizilebilir noktaların her iki tanımının da birbirine eşdeğer olduğu sonucuna varılır.

Cebirsel ve geometrik tanımların eşdeğerliği

$a$ ve $b$ değerleri, geometrik yöntemlerle oluşturulan segmentlerin sıfırdan farklı uzunluklarına karşılık geliyorsa, temel pergel ve düz çizgi kullanımı ile $a+b$, $|a-b|$, $ab$ ve $a/b$ uzunluklarında yeni segmentlerin oluşturulması mümkündür. Bu işlemlerin son ikisi, kesişme teoremine dayalı bir yöntemle gerçekleştirilebilir. Bu araçlara dayanarak gerçekleştirilen biraz daha karmaşık bir inşa yöntemi, geometrik ortalama teoremini temel alır ve $a$ uzunluğunda bir segment kullanılarak ${\sqrt {a}}$ uzunluğunda bir segmentin oluşturulmasını sağlar. Bu teknikler, bir sayının formülünün ilgili sayının geometrik inşasına dönüştürülmesi suretiyle, her cebirsel olarak çizilebilir sayının geometrik olarak da çizilebileceği sonucunu doğurmaktadır.

Bu görseller, çizilebilir sayıların oluşturulması için pergel ve cetvel kullanılarak gerçekleştirilen çizme işlemlerini göstermektedir.

$ab$, kesişme teoremi temelinde yapılmıştır.

${\frac {a}{b}}$, kesişme teoremi temelinde yapılmıştır.

${\sqrt {p}}$, geometrik ortalama teoremi temelinde yapılmıştır.

Diğer bir perspektiften, geometrik nesnelerin bir kümesi, cebirsel olarak çizilebilir reel sayılar kullanılarak belirlenebilir: noktalar için koordinatlar, doğrular için eğim ve $y$-kesişim, çemberler için ise merkez ve yarıçap. Bu değerlere dayanarak, sadece aritmetik ve karekökler kullanılarak, pergel ve düz çizgi ile yapılan bir çizimin tek bir adımında dahil edilebilecek herhangi bir ek nesne için formüllerin geliştirilmesi mümkündür (bu, oldukça meşakkatli bir süreçtir). Bu formüllerden hareketle, geometrik olarak çizilebilir her sayının, cebirsel olarak da çizilebileceği sonucuna varılmaktadır.

Cebirsel özellikler

Cebirsel olarak çizilebilir sayıların tanımı, ilgili sayıların toplamları, farkları, çarpımları ve çarpmaya bağlı tersleri gibi işlemleri kapsar; bu işlemler, soyut cebir içerisinde bir alanın tanımlanmasında kullanılan temel işlemlerle özdeştir. Bu bağlamda, ele alınan herhangi bir yöntemle tanımlanan konstrüktif sayılar bir alan yapısını oluşturur. Özellikle, çizilebilir reel sayılar, pozitif elemanlarının her birinin bir karekökünü barındıran, sıralanabilir bir alan olan bir Öklid alanını meydana getirir. Bu alanın ve alt alanlarının incelenmesi, bir sayının çizilebilir olabilmesi için zorunlu koşulları belirlememize olanak tanır. Bu koşullar, klasik geometrik yapı problemlerinde karşımıza çıkan ve çizilebilir olmayan belirli sayıların tespit edilmesinde kullanılabilir.

Çizilebilir sayıların genel alanı yerine, herhangi bir çizilebilir sayı $\gamma$ ile üretilen ve bu sayıya özgü $\mathbb {Q} (\gamma )$ alt alanını incelemek ve $\gamma$'nın cebirsel yapısını kullanarak söz konusu alanı parçalara ayırmak daha faydalıdır. $\gamma$, çizilebilir bir reel sayı olduğunda, bu sayının çizilebilirliğini mümkün kılan formülasyondaki değerlerin kullanılması, her bir $i$ için, $\mathbb {Q} (\alpha _{1},\dots ,a_{i})$'nın, $\mathbb {Q} (\alpha _{1},\dots ,a_{i-1})$'ya kıyasla derecesi 2 olan bir genişlemesi olduğu bir $\alpha _{1},\dots ,a_{n}=\gamma$ reel sayı dizisinin oluşturulmasına imkan tanır. Alternatif bir terminoloji ile ifade edildiğinde, bir reel sayının çizilebilir olması, yalnızca bu sayının, $\mathbb {Q}$ rasyonel alanı ile başlayıp, $\gamma$'nın bulunduğu $K_{n}$'ye kadar uzanan ve her $0<j\leq n$ için $[K_{j}:K_{j-1}]=2$ olan sonlu bir kuadratik genişleme alan kulesinin zirvesindeki bir alanda yer alması durumuna bağlıdır. Bu ayrışma sürecinden, $[\mathbb {Q} (\gamma ):\mathbb {Q} ]$ alan genişlemesinin derecesinin, kuadratik genişleme aşamalarının sayısını gösteren $r$ ile $2^{r}$ olduğu anlaşılır.

Reel sayıların durumuna paralel olarak, bir karmaşık sayının çizilebilirliği, yalnızca o sayının, sonlu sayıda karmaşık kuadratik genişlemelerden oluşan bir alan kulesinin en üstünde yer alan bir alanda bulunması ile mümkündür. Daha açık bir tanımla, $\gamma$ sayısının çizilebilir olması;

$$\mathbb {Q} =F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \dots \subseteq F_{n},$$

, şeklinde bir alanlar dizisi var olduğunda, $\gamma$ sayısının $F_{n}$ içinde yer alması ve her $0<j\leq n$ için $[F_{j}:F_{j-1}]=2$ ilişkisinin geçerli olması durumunda gerçekleşir. Bu tanımlama ile reel çizilebilir sayılara ilişkin tanımlama arasındaki temel fark, bu kapsamdaki alanların yalnızca reel sayıları kapsamak zorunda olmayışıdır. Dolayısıyla, bir karmaşık sayı $\gamma$ çizilebilirse, bu durumda $[\mathbb {Q} (\gamma ):\mathbb {Q} ]$, ikinin bir kuvveti şeklinde ifade edilir. Ancak, bu gerekli koşul, tek başına yeterli olmayıp; derecesi ikinin bir kuvveti olan fakat kuadratik genişlemeler dizisi ile ayrıştırılamayan alan genişlemelerinin var olduğu durumlar da bulunmaktadır.

$\mathbb {Q}$ üzerinden kuadratik genişlemelerin kuleleri aracılığıyla oluşturulabilen alanlar, $\mathbb {Q}$ için tekrarlanan kuadratik genişlemeler olarak adlandırılır. Reel ve karmaşık çizilebilir sayıların oluşturduğu alanlar, $\mathbb {Q}$ üzerinden gerçekleştirilen tüm gerçek veya karmaşık tekrarlanan kuadratik genişlemelerin birleşimlerinden meydana gelir.

Trigonometrik sayılar

Trigonometrik sayılar, $\pi$'nin rasyonel katlarının sinüs veya kosinüs değerleri olarak tanımlanır. Bu tür sayılar daima cebirsel niteliktedir; ancak, bu sayıların her birinin çizilebilir olması zorunlu değildir. Özellikle, $2\pi /n$ açısının sinüsü veya kosinüsü, sadece belirli $n$ sayıları için çizilebilir olma özelliği gösterir:

• İki sayısının kuvvetleri
• İki sayısının bir kuvvetine bir eklenmesiyle elde edilen asal sayılar olan Fermat asalları
• İki sayısının kuvvetlerinin ve birbirinden farklı Fermat asallarının herhangi bir sayıda kombinasyonunun çarpımları.

Buna göre, $\cos(\pi /15)$, 15 sayısının 3 ve 5 olmak üzere iki Fermat asalının çarpımı olması sebebiyle çizilebilir bir değere sahiptir. Ancak, $\cos(\pi /9)$ (farklı Fermat asallarının bir çarpımı olmadığı için) ve $\cos(\pi /7)$ (bir Fermat asalı olmayan bir asal sayı olduğu için) çizilebilir sayılar arasında yer almaz.

İmkansız çizimler

Bir küp ve onun iki katı

Bir açı ve onun üçe bölünmesi

Eşit alanlara sahip daire ve kare

Antik Yunanlılar, çözümünü bulamadıkları bazı pergel ve cetvel çizimi problemlerinin sadece zorlu değil, çözümsüz olduğunu varsaymıştır. Ancak, birtakım sayıların çizilemezliği, bu tür yapıların mantıken gerçekleştirilemeyeceğini ortaya koymaktadır. Bununla birlikte, problem kendileri, sadece pergel ve cetvel kullanımıyla sınırlı kalmadan, bu sınırların ötesindeki yöntemlerle çözülebilir; Antik Yunanlılar bu tür çözümleri bilmekteydi. Bu yöntemlerden bir tanesinin, Arşimet'in Neusis çizimi yöntemiyle Açının Üçe Bölünmesi problemine getirdiği çözüm olduğu bilinmektedir.

Özellikle, çizilebilir sayılarla ilgili cebirsel ifadeleme, aşağıda belirtilen çizim problemlerinin gerçekleştirilemeyeceğinin ispatlanmasını sağlar:

Delos problemi

Birim karenin iki katına çıkarılması meselesi, ilk kare üzerine, kenarlarının uzunluğu ${\sqrt {2}}$ ve yüzölçümü $2$ olan yeni bir kare konumlandırılarak halledilir. Eş anlamda, küpün hacmini iki katına çıkarma sorusu, hacmi $2$ olan bir küp için kenar uzunluğunun ${\sqrt[{3}]{2}}$ değerinde tesis edilmesini talep eder. Ancak, bu uzunluk, söz konusu uzunluğun minimal polinomu olan $x^{3}-2$'nin, $\mathbb {Q}$ üstünde üçüncü dereceden olması sebebiyle çizilebilir değildir. Yalnızca tek bir reel irrasyonel köke sahip olan bu kübik polinom, eğer bir kuadratik reel kök mevcut olsaydı, kuadratik eşlenik yoluyla ikinci bir reel kökün elde edilebileceği varsayımıyla, indirgenemez niteliktedir.

Açının üçe bölünmesi

Bu probleme göre, verilen bir $\theta$ açısından, $\theta /3$ açısının inşa edilmesi gerekmektedir. Cebirsel olarak, açılar trigonometrik fonksiyonları, örneğin sinüsleri veya kosinüsleri ile temsil edilebilir, bu da verilen açı ile başlangıç segmenti arasında oluşturulan bir doğru segmentinin son noktasının Kartezyen koordinatlarını verir. Böylece, bir $\theta$ açısı, $x=\cos \theta$ bir çizilebilir sayı olduğunda çizilebilir hale gelir ve açının üçe bölünmesi problemi, $\cos({\tfrac {1}{3}}\arccos x)$ inşa edilmesi olarak formüle edilebilir. Örneğin, eşkenar üçgenin $\theta =\pi /3=60^{\circ }$ açısı pergel ve cetvel ile çizilebilir, burada $x=\cos \theta ={\tfrac {1}{2}}$. Ancak, üçe bölünmüş açısı $\theta /3=\pi /9=20^{\circ }$ çizilemez, çünkü $\cos \pi /9$ minimal polinomu $\mathbb {Q}$ üzerinde 3 dereceli $8x^{3}-6x-1$ olur. Bu belirli üçe bölme problemi örneğinin pergel ve cetvel ile çözülemediği için, genel problem de çözülemez.

Daireyi kareyle çevreleme

Alanı bir birim çember ile aynı olan $\pi$ alanına sahip bir karenin kenar uzunluğu ${\sqrt {\pi }}$, bir transandantal sayı olacaktır. Dolayısıyla, bu kare ve kenar uzunluğu çizilebilir değildir, çünkü $\mathbb {Q}$ üzerinde cebirsel değildir.

Çizilebilir çokgen

Merkezi orijinde olan düzenli bir $n$-genin köşeleri arasındaki açılar $2\pi /n$ olacaktır. Çokgen, bu açının kosinüsü bir trigonometrik sayı olduğunda çizilebilir. Bu bağlamda, örneğin, 15-geni çizebilirken, düzenli yedigen çizilemez, çünkü 7 asal sayıdır fakat bir Fermat asalı değildir. Yedigenin çizilemezliğinin daha doğrudan bir kanıtı için, düzenli yedigenin köşelerini $x^{7}-1$ polinomunun karmaşık kökleri olarak temsil edin. $x-1$ faktörünü çıkarıp, $x^{3}$ ile bölerek ve $y=x+1/x$ ile yer değiştirerek daha basit $y^{3}+y^{2}-2y-1$ polinomunu elde edersiniz; bu, üç reel kökü olan indirgenemez bir kübik polinomdur ve her bir kök, bir karmaşık sayı köşenin reel kısmının iki katıdır. Kökleri çizilebilir olmadığı için, yedigen de çizilebilir değildir.

Heysem problemi

İki nokta ve bir dairesel ayna verildiğinde, verilen noktalardan biri diğerinin yansımasını çember üzerinde nerede görür? Geometrik olarak, her bir verilen noktadan yansıma noktasına giden çizgiler, çemberde eşit açılarla ve eşit uzunlukta kirişlerle kesişir. Ancak, bir yansıma noktasını pergel ve cetvel kullanarak çizmek imkansızdır. Özellikle, iki noktası $({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}})$ ve $(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$ içinde olan bir birim çember için, çözümün koordinatları indirgenemez derece-dört polinomunun $x^{4}-2x^{3}+4x^{2}+2x-1$ köklerini oluşturur. Derecesi iki sayısının kuvveti olmasına rağmen, bu polinomun ayrışma alanının derecesi üç ile bölünebilir, bu yüzden iteratif bir karesel genişletmeden gelmez ve Alhazen Problemi'nin pergel ve cetvelle bir çözümü yoktur.

Tarihçe

Çizilebilir sayılar kavramının doğuşu, küpün iki katına çıkarılması, bir açının üçe bölünmesi ve dairenin kareye çevrilmesi gibi üç imkansız pergel ve cetvel inşası ile yakından ilişkilidir. Geometrik inşalarda yalnızca pergel ve cetvel kullanımı kısıtlaması sık sık Plato'ya atfedilir, çünkü bu Plutarch'ta geçen bir bölümden kaynaklanır. Plutarch'a göre, Plato, küpün iki katına çıkarılması (Delos) problemini Knidoslu Ödoksus, Archytas ve Menaechmus'a vermiş ve onlar problemi mekanik yöntemler kullanarak çözmüşler, ancak Plato'dan sentetik geometri kullanarak problemi çözmedikleri için bir azar işitmişlerdir. Ancak, bu atfın sorgulandığı bilinmektedir, kısmen, üçünün de çözüm bulduğu ancak bu çözümlerin pratik değerden yoksun olduğunu söyleyen başka bir hikâye versiyonunun varlığı nedeniyle (bu hikâye, Eratosthenes tarafından Askalonlu Eutokios'a atfedilir). Proclus, Rodoslu Eudemos'u alıntılayarak, iki cetvel ve pergel inşasını Oenopides'e (M.Ö. 450 civarı) atfetmiş ve bu, bazı yazarların Oenopides'in kısıtlamayı ortaya koyduğu hipotezini geliştirmelerine yol açmıştır. Pergel ve cetvelle yapılan kısıtlama, klasik inşaat problemlerinin çözülemezliği için esastır. Örneğin, açının üçe bölünmesi, antik Yunanlıların bildiği birçok yöntemle yapılabilir. Hippias of Elis'in Quadratrix'i, Menaechmus'un konik kesitleri veya Archimedes'in işaretli cetveli (neusis) inşası gibi yöntemler kullanılmıştır, aynı zamanda daha modern bir yaklaşım olan kağıt katlama yöntemi de kullanılmıştır.

Klasik üç çizim probleminden biri olmamakla birlikte, cetvel ve pergel ile düzenli çokgenlerin çizimi problemi sıklıkla onlarla birlikte ele alınır. Yunanlılar, $n=2^{h}$ (herhangi bir $h\geq 2$ tam sayısı için), 3, 5 veya bu sayıların herhangi iki veya üçünün çarpımı ile düzenli $n$-genler çizmeyi biliyordu, ancak diğer düzenli $n$-genler onlara meydan okuyordu. 1796 yılında, o zamanlar 18 yaşında bir öğrenci olan Carl Friedrich Gauss, bir gazetede cetvel ve pergel ile düzenli bir 17-geni inşa ettiğini duyurdu. Gauss'un yaklaşımı geometrikten ziyade cebirseldi; aslında, poligonu gerçekten inşa etmemiş, ancak merkezi bir açının kosinüsünün bir çizilebilir sayı olduğunu göstermişti. Argüman, 1801 yılında yayımlanan Disquisitiones Arithmeticae kitabında genelleştirilmiş ve bir düzenli $n$-genin inşası için yeterli koşulu vermiştir. Gauss, bu koşulun aynı zamanda gerekli olduğunu iddia etti ancak kanıtlamadı ve özellikle Felix Klein, bu kanıtın bir kısmını ona atfetti. Heysem problemi de klasik üç problemden biri değildir, ancak İbnü'l-Heysem (Alhazen) adıyla anılmasına rağmen, bir ortaçağ İslam matematikçisi olmasına karşın, problem zaten ikinci yüzyıldan Batlamyus'un optik üzerine çalışmasında yer almaktadır.

Pierre Wantzel (1837) küpün iki katına çıkarılması ve bir açının üçe bölünmesi problemlerinin, yalnızca pergel ve cetvel kullanılarak çözülemeyeceğini cebirsel olarak kanıtladı. Aynı makalede, hangi düzenli çokgenlerin çizilebileceğini belirleyen problemin de çözümünü verdi: bir düzenli çokgenin çizilebilmesi ancak ve ancak kenar sayısının, bir ikinin kuvveti ile herhangi sayıda farklı Fermat asalının çarpımı olması durumudur (yani Gauss tarafından verilen yeterli koşullar aynı zamanda gerekli koşullardır). Dairenin kareye çevrilmesinin imkansızlığı üzerine bir kanıt girişimi, James Gregory tarafından 1667 yılında Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (Dairenin ve Hiperbolün Gerçek Kareye Çevrilmesi) adlı eserinde verilmiştir. Kanıtı hatalı olsa da, bu makale, π'nin cebirsel özelliklerini kullanarak problemin çözümünü deneyen ilk çalışmadır. Dairenin kareye çevrilmesinin imkansızlığı, Ferdinand von Lindemann tarafından 1882 yılında, Charles Hermite'in çalışmalarını genişleterek ve π'nin bir transandantal sayı olduğunu kanıtlayarak kesin olarak ispatlanana kadar kanıtlanmadı. Heysem problemi'nin pergel ve cetvelle çözülemeyeceği, Elkin (1965)'in çalışmalarına kadar kanıtlanmadı.

Çizilebilir sayıların kendileri üzerine yapılan çalışma, René Descartes tarafından 1637 yılında yayımlanan kitabı Yöntem Üzerine Konuşmanın bir ek bölümü olan La Géométrie ile başlatılmıştır. Descartes, geometrik doğru parçalarına sayılar atayarak, İskenderiyeli Pappus tarafından öne sürülen antik bir cetvel ve pergel inşaat problemi çözümüyle felsefi yönteminin gücünü sergilemiştir.

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Constructible Number (MathWorld)
• Constructible Numbers at Cut-the-knot