Düzgün dairesel hareket

Düzgün dairesel hareket, sabit bir kuvvetin etkisinde, bir çember üzerinde süratin değişmediği harekettir.

Periyot ve frekans

Periyot

Düzgün dairesel harekette bir tam dolanım için geçen süredir. $T$ ile gösterilir. Birimi saniyedir.

Frekans

Düzgün dairesel hareket yapan cismin bir saniyedeki dolanım sayısıdır. $f$ ile gösterilir. Birimi Hertz dir.

Periyot ve frekans arasında, $f={1 \over T}$ bağıntısı vardır.

Hız

Şekil 1

Çember üzerinde dolanan bir cisim, Şekil 1 deki gibi $x$ kadar yol alırken yarıçap vektörü aynı anda $\theta$ açısı kadar bir açı tarar. Bu nedenle dairesel hareketlerde; biri çizgisel, diğeri açısal olmak üzere iki çeşit hız tanımlanır.

Çizgisel hız

Şekil 1 deki gibi düzgün dairesel hareket yapan bir cismin, daire yayı üzerinde birim zamanda aldığı yola çizgisel hız denir. Çizgisel hız vektörü (${\overrightarrow {v}}$) daire yayına tam teğet olup, yarıçap vektörüne diktir.

Düzgün doğrusal harekette; ${\text{HIZ}}={Yol \over Zaman}\!$ (veya $v={x \over t}$) idi. Cisim dairenin tüm çevresini dolanırsa, $2{\pi }r$ kadar yol alır ve bu esnada bir periyot $(T)$ kadar zaman geçer.

Bu nedenle çizgisel hız ifadesi;

$2{\pi }r=v.T\!$

$v={2{\pi }r \over T}\!$

$v={2{\pi }rf}\!$

şeklinde bulunur. Çizgisel hızın birimi metre / saniye dir.

Açısal hız

Cismi merkeze bağlayan yarıçap vektörünün, birim zamanda radyan cinsinden taradığı açıya açısal hız denir, ω ile gösterilir. Birimi rad/s dir.

Dairesel hareket yapan bir cismi merkeze bağlayan yarıçap vektörü bir tam devir yaptığında, $2\pi$ radyan açı tarar ve bu esnada bir periyot $(T)$ kadar zaman geçer. O hâlde açısal hız;

$\theta =\omega .t\!$

$2\pi =\omega .t\!$

$\omega ={2\pi \over T}\!$

$\omega =2{\pi }f\!$ olur.

Çizgisel hız ile açısal hız arasındaki bağıntı ise;

$\omega ={2\pi \over T}\!$ olmak üzere

$v={2\pi r \over T}\!$

$v=\omega .r\!$ olur.

İvme ve kuvvet

Merkezcil ivme

Şekil 3

Dairesel bir yörüngede sabit hızla dönen bir cismin, eşit zaman aralıklarıyla çizilmiş hız vektörleri Şekil 3 teki gibi olur. Bu hız vektörlerinin büyüklükleri eşit, yönleri ise farklıdır.

Hız vektörlerinin başlangıç noktaları ortak bir noktada toplanırsa ardışık $\Delta {\overrightarrow {v}}$ hız değişim vektörlerinin eşit büyüklükte, fakat farklı yönlerde olduğu görülür $\Delta {t}$ süresindeki hız değişim vektörü $\Delta {\overrightarrow {v}}$ ise, ortalama ivme vektörü;

${\overrightarrow {a}}_{ort}={\Delta {\overrightarrow {v}} \over \Delta {t}}$ olur.

Ani ivme vektörleri, hız vektörlerine diktir.

Düzgün dairesel hareket yapan bir cisim, $R\!$ yarıçaplı çember üzerinde bir devir yaptığında, hız vektörü de tam bir devir yaparak başlangıçtaki yönüne gelir. Diğer bir deyişle, hız vektörünün ucu, $r$ yarıçaplı bir dairenin $2\pi {r}$ çevresini $T\!$ zamanda döner. Hızdaki değişim; $\Delta {v}=2\pi {r}$ olduğundan;

$a={2\pi {r} \over T}\!$

olur. Çizgisel hızın $v={2\pi {R} \over T}\!$ değeri ivme bağıntısında yerine yazılırsa;

$a=-{4\pi ^{2}{R} \over T^{2}}$ veya

$a=-{v^{2} \over R}=-{\omega ^{2}R}$

bulunur.

Dairesel harekette bu ivmeye merkezcil ivme denir.

Şekil 4

Buradaki $(-)$ işareti ${\overrightarrow {R}}\!$ vektörüyle ${\overrightarrow {a}}\!$ ivme vektörünün aynı doğrultuda ve ters yönlü olduğunu gösterir (Şekil 4).

Merkezcil kuvvet

Her ivme, kendi yönünde bir net kuvvet tarafından oluşturulur. Düzgün dairesel harekette de cisme ivme kazandıran kuvvet dinamiğin temel prensibi olan ${\overrightarrow {F}}=m.{\overrightarrow {a}}$ dan;

${\overrightarrow {F}}=-{m.4\pi ^{2}{\overrightarrow {R}} \over T^{2}}$

Bu kuvvetin yönü, ivme ile aynı yönlü olup yörüngenin merkezine doğrudur. Bu kuvvete merkezcil kuvvet denir. Kuvvetin büyüklüğü, $v$ hızı ile $R$ yarıçapına bağlı olarak;

$F=-{m.4\pi ^{2}R \over T^{2}}=-{mv^{2} \over R}$

şeklinde de yazılabilir.

Merkezkaç kuvveti

Şekil 5

Dairesel harekette merkezkaç kuvveti adı verilen bir kuvvet daha vardır. Newton yasalarının geçerli olduğu bir referans sisteminde böyle bir kuvvet yoktur. Bu kuvvetin çıkma sebebi gözlemcinin sistemde Newton yasalarını uygulayabilmek için varsaydığı eylemsizlik kuvvetidir (Şekil 5).

Düzgün dairesel hareketin uygulamaları

• Eğimli viraj
• Yatay viraj